텐서 대수 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''텐서 대수'''(tensor代數, {{llang|en|tensor algebra}})는 어떤 [[벡터 공간]] 또는 [[가군]] 위의 [[원소 (수학)|원소]]들로부터 생성되는 비가환 다항식들로 구성되는 [[등급환|등급]] [[단위 결합 대수]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>V</math> 위의 '''텐서 대수''' <math>\operatorname T(V)</math>는 다음과 같은 <math>K</math> 위의 등급 가군이다.
:<math>\operatorname T(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty\overbrace{V\otimes_KV\otimes_K\cdots\otimes_KV}^n=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus\cdots</math>
:<math>\operatorname T^n(V)=\overbrace{V\otimes_KV\otimes_K\cdots\otimes_KV}^n</math>
이 위에는 다음과 같은 자연스러운 쌍선형 [[이항 연산]]이 존재한다.
:<math>\otimes\colon\operatorname T^m(V)\times\operatorname T^n(V)\to\operatorname T^{m+n}(V)</math>
:<math>\otimes\colon\left((u_1\otimes\cdots\otimes u_m),(v_1\otimes\cdots\otimes v_n)\right)\mapsto u_1\otimes\cdots u_m\otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_n\in\operatorname T^{m+n}(V)</math>
이는 [[결합 법칙]]을 만족시키고, 또 항등원 <math>1_K\in K=\operatorname T^0(V)</math>을 갖는다. 따라서, 텐서 대수는 <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]를 이룬다.

=== 호프 대수 구조 ===
텐서 대수 <math>\operatorname T(V)</math> 위에는 다음과 같이 [[호프 대수]]의 구조가 존재한다. 여기서 <math>\Delta</math>는 쌍대곱, <math>S</math>는 앤티포드이다.
:<math>\Delta(v_1\otimes\dots\otimes v_m) = \sum_{p=0}^m \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(p,m-p)} \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right)\otimes\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(m)}\right)</math>
:<math> S(v_1\otimes\dots\otimes v_m) = (-1)^mv_m\otimes\cdots\otimes v_1 </math>
여기서 <math>\operatorname{Sh}(p,m-p)\subseteq\operatorname{Sym}(p)</math>는 <math>(p,m-p)</math>-[[셔플 순열]]의 집합이다.

=== 비가환 다항식 대수 ===
집합 <math>\{x_i\}_{i\in I}</math>에 의하여 생성되는, 가환환 <math>K</math> 위의 [[자유 대수|자유]] [[단위 결합 대수]]는 [[자유 가군]] <math>K^{\oplus |I|}</math> 위의 텐서 대수와 같으며, '''비가환 다항식 대수'''({{llang|en|noncommutative polynomial algebra}})라고 하며, 기호로는 다음과 같이 쓴다.
:<math>K\langle x_i\rangle_{i\in I}=\operatorname T(K^{\oplus|I|})</math>
비가환 다항식 대수의 원소들은 [[다항식환]] (자유 가환 [[단위 결합 대수]]) <math>K[x_i]_{i\in I}</math>과 유사하지만, <math>i\ne j</math>라면 <math>x_ix_j\ne x_jx_i</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[대칭 대수]]
* [[외대수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Tensor algebra}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수]]
[[분류:선형대수학]]