텐서곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''텐서곱'''({{llang|en|tensor product}})은 두 [[쌍가군]] 또는 [[가군]] 또는 [[결합 대수]]에 대하여 정의할 수 있는 [[이항 연산]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[결합 대수]] <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>
* <math>(A,B)</math>-[[쌍가군]] (=<math>A\otimes_KB^{\operatorname{op}}</math>-[[왼쪽 가군]]) <math>_AM_B</math>
* <math>(B,C)</math>-[[쌍가군]] (=<math>B\otimes_KC^{\operatorname{op}}</math>-[[왼쪽 가군]]) <math>_BN_C</math>
그렇다면, <math>M</math>과 <math>N</math>의 '''텐서곱'''은 다음과 같이 구성되는 <math>(A,C)</math>-[[쌍가군]]이다.
<ol>
<li>[[곱집합]] <math>M\times N</math> 위의 [[자유 대수|자유]] <math>(A,C)</math>-[[쌍가군]] <math>_AX_C</math>를 생각하자.</li>
<li><math>X</math> 위에서 다음과 같은 [[이항 관계]] <math>\sim_0</math>로 생성되는, <math>(A,C)</math>-[[쌍가군]]의 [[합동 관계]] <math>\sim</math>를 생각하자.
<dd><math>(m,n)+(m',n) \sim_0 (m+m',n) \qquad (m,m'\in M,\;n\in N)</math></dd>
<dd><math> (m,n)+(m,n') \sim_0 (m,n+n') \qquad (m\in M,\;n,n'\in N) </math></dd>
<dd><math> a(m,n) \sim_0 (am,n) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A) </math></dd>
<dd><math> (m,n)c \sim_0 (m,nc) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C) </math></dd>
<dd><math> (mb,n) \sim_0 (m,bn) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B) </math></dd>
</li>
<li><math>(A,C)</math>-[[쌍가군]] <math>X/{\sim}</math>을 생각하자. 이를 '''텐서곱''' <math>M\otimes_BN</math>이라고 한다.</li>
</ol>

=== 특수한 경우 ===
다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.
* 만약 <math>K=A=C=\mathbb Z</math>라면, <math>M_B</math>은 <math>B</math>-[[오른쪽 가군]]이며, <math>_BN</math>은 <Math>B</math>-[[왼쪽 가군]]이다. 이 경우, <Math>B</math>-[[오른쪽 가군]]과 <math>B</math>-[[왼쪽 가군]]의 텐서곱은 [[아벨 군]](=<math>(\mathbb Z,\mathbb Z)</math>-[[쌍가군]])이다.
* 만약 <math>K=A=B=C</math>라면, <math>M</math>과 <math>N</math>은 <math>K</math>-[[가군]]이다. 이 경우, 두 <math>K</math>-[[가군]]의 텐서곱은 <math>K</math>-[[가군]]이다.
** 특히, 만약 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, 두 <math>K</math>-[[벡터 공간]]의 텐서곱은 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이다.
** 특히, 만약 <math>K=\mathbb Z</math>일 때, 두 [[아벨 군]]의 텐서곱은 [[아벨 군]]이다.
* 만약 <math>K=B</math>가 [[체 (수학)|체]]이며, <math>G</math>와 <math>H</math>가 [[군 (수학)|군]]이며, <math>A=K[G]</math>, <math>C^{\operatorname{op}}=K[H]</math>(즉, <math>K</math>계수 [[군환]])이라고 하자. 그렇다면, <math>M</math>과 <math>N</math>은 각각 <math>G</math>와 <math>H</math>의 [[군의 표현|표현]]이며, 이 경우 <math>M\otimes_KN</math>은 <math>A\otimes_KC^{\operatorname{op}} = K[G\times H]</math>-[[왼쪽 가군]]을 이룬다. 즉, <math>M\otimes_KN</math>은 [[직접곱]] <math>G\times H</math>의 [[군의 표현|표현]]을 갖는다. 이를 두 [[군 표현]]의 '''외부 텐서곱'''({{llang|en|external tensor product}})이라고 한다.
** 특히, 위의 경우에서 만약 <math>G=H</math>라면, [[대각 사상]] <math>G\to G\times G</math>를 통해, <math>M\otimes_KN</math>은 <math>G</math>의 [[군의 표현|표현]]을 이룬다. 이를 두 [[군 표현]]의 '''텐서곱'''이라고 한다.

=== 결합 대수의 텐서곱 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[결합 대수]] <math>A</math>, <math>B</math>
그렇다면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 둘 다 <math>K</math>-[[가군]]이므로, 텐서곱 <math>A\otimes_KB</math>를 정의할 수 있으며, 이는 <math>K</math>-[[가군]]을 이룬다. 그런데, 이 경우 <math>A\otimes_KB</math>는 자연스럽게 <math>K</math>-[[결합 대수]]의 구조를 가지며, 이는 다음과 같다.
:<math>(a\otimes_Kb)(a'\otimes_Kb') = (aa')\otimes_K(bb')</math>
이에 따라, <math>K</math>-[[결합 대수]]의 범주는 [[대칭 모노이드 범주]]가 된다.

== 성질 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Mod}_K</math>를 생각하자. 이는 텐서곱을 통해 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 특히,
* 텐서곱은 [[결합 법칙]]을 따른다.
* 텐서곱의 항등원은 1차원 [[자유 가군]] <Math>K</math>이다.
또한, <math>\operatorname{Mod}_K</math>는 [[닫힌 모노이드 범주]]이다. 다시 말해, 임의의 <math>K</math>-가군 <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\hom_K(M\otimes N,P) \cong \hom_K(M,\hom_K(N,P))</math>

=== Tor 함자 ===
{{본문|Tor 함자}}
텐서곱 함자의 [[유도 함자]]를 '''[[Tor 함자]]'''라고 한다.

== 예 ==
가환환 <math>K</math> 위의 두 유한 차원 [[자유 가군]]
:<Math>M=K^{\oplus m}</math>
:<Math>N=K^{\oplus n}</math>
:<math>m,n\in\mathbb N</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 [[자유 가군]]이다.
:<math>M\otimes_KN = K^{\oplus (mn)}</math>
즉, (차원이 더해지는) [[직합]]과 달리, 텐서곱에서는 차원이 곱해진다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Tensor product}}
* {{매스월드|id=ModuleTensorProduct|title=Module tensor product|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{매스월드|id=
VectorSpaceTensorProduct|title=Vector space tensor product|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{매스월드|id=ExternalTensorProduct|title=External tensor product|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{매스월드|id=RepresentationTensorProduct|title=Representation tensor product|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{nlab|id=tensor product of modules|title=Tensor product of modules}}
* {{nlab|id=tensor product of vector spaces|title=Tensor product of vector spaces}}
* {{nlab|id=tensor product of abelian groups|title=Tensor product of abelian groups}}
* {{nlab|id=tensor product of algebras|title=Tensor product of algebras}}
* {{웹 인용|제목=Tensor product of abelian groups|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Tensor_product_of_abelian_groups|웹사이트=Groupprops | 언어=en }}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/04/06/tensor-products-of-abelian-groups/|제목=Tensor products of abelian groups|웹사이트=The Unapologetic Mathematician | 이름=John|성=Armstrong|날짜=2007-04-06|언어=en}}

[[분류:환론]]
[[분류:가군론]]