테이트-샤파레비치 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
산술기하학에서, '''테이트-샤파레비치 군'''(Tate-Shafarevich群)은 수체 {{수학|''K''}}위의 [[아벨 다양체]] {{수학|''A''}} (또는 더 일반적으로 [[군 스킴]])에 대해 정해지는 [[군 (수학)|군]] {{수학|Ш(''A''/''K'')}}으로, 베유-샤틀레 군 <math> \mathrm{WC}(A/K) = H^1(G_K, A)</math>의 원소 중 {{수학|''K''}}의 모든 완비화({{수학|''K''}}에서 얻어지는 실수, 복소수 완비화와 [[P진수|{{수학|''p''}} 진수체]])에서 자명한 원소로 구성되어 있다. 여기서 <math>G_K = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})</math>는 {{수학|''K''}}의 [[절대 갈루아 군]]이다. 따라서 [[갈루아 코호몰로지]]의 관점에서 {{수학|Ш(''A''/''K'')}}는 
: <math>\bigcap_v\mathrm{ker}\left(H^1\left(G_K,A\right)\rightarrow H^1\left(G_{K_v},A_v\right)\right)</math>
으로 정의할 수 있다. 이 군은 [[서지 랭]], [[존 테이트]]{{Sfn|Lang|Tate|1958}}와 [[이고리 샤파레비치]]에 의해 소개되었다.{{Sfn|Shafarevich|1959}} [[존 윌리엄 스콧 캐셀스|캐셀스]]은 표기법 {{수학|Ш(''A''/''K'')}}를 도입하였다. 여기서 {{수학|Ш}}는 샤파레비치의 [[키릴 문자]] "[[Ш|샤]]"로 이전 표기법 {{수학|TS}} 또는 {{수학|TŠ}}를 대체한다.

== 테이트–샤파레비치 군의 원소 ==
기하학적으로, 테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 {{수학|''K''}} 의 모든 [[대수적 수체#자리|자리]] {{수학|''v''}} 에 대해 {{수학|''K<sub>v</sub>''}}-[[유리점]]을 갖지만 {{수학|''K''}}-유리점은 갖지 않는 {{수학|''A''}}의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 군은 체 {{수학|''K''}}를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 {{임시 링크|하세 원리|en|Hasse principle}}가 유지되지 않는 정도를 측정한다. Carl-Erik Lind는 종수 1 곡선 <math> x^4 - 17 = 2 y^2 </math>이 실수체와 모든 {{수학|''p''}}진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여줌으로써 그러한 동차 공간의 예를 보였다.{{Sfn|Lind|1940}} 에른스트 셀머는 <math> 3 x^3 + 4 y^3 + 5 z^3 = 0 </math>를 비롯하여 더 많은 예를 제시했다.{{Sfn|Selmer|1951}}

특수한 경우로, 아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 {{수학|''n''}}의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 {{임시 링크|셀머 군|en|Selmer group}}과 밀접한 관련이 있다.

== 테이트-샤파레비치 추측 ==
테이트–샤파레비치 추측은 테이트–샤파레비치 군이 유한하다는 추측이다. 칼 루빈은 [[복소 곱셈]]을 사용하여 최대 1의 유리점군 계수를 갖는 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다.{{Sfn|Rubin|1987}} Victor A. Kolyvagin은 이것을 최대 1의 해석적 랭크의 유리수에 대한 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(나중에 [[모듈러성 정리]]는 모듈러성 가정이 항상 유지됨을 보여주었다).{{Sfn|Kolyvagin|1988}}

== 캐셀스–테이트 쌍 ==
캐셀스-테이트 쌍은 [[Bilinear pairing|쌍선형 쌍]] {{수학|Ш(''A'') × Ш(''Â'') → '''Q'''/'''Z'''}}이다. 여기서 {{수학|''A''}}는 아벨 다양체이고 {{수학|''Â''}}는 그 쌍대이다. 캐셀스는 [[타원곡선]]에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 {{수학|''A''}}는 {{수학|''Â''}}로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다.{{Sfn|Cassels|1962}} 이 형식의 [[핵 (수학)|핵]]은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 확장했다.{{Sfn|Tate|1963}} ''A''에 대한 극화의 선택은 {{수학|''A''}}에서 {{수학|''Â''}} 로 가는 사상을 제공하며, 이는 {{수학|'''Q'''/'''Z'''}} 값을 갖는 {{수학|Ш(''A'')}}에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 번갈아 가거나 비대칭 대칭일 필요가 없다.

타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 번갈아 있음을 보여주었고, 그 결과 {{수학|Ш}}의 차수가 유한하면 정사각형이 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다형체의 경우, {{수학|Ш}}의 차수가 유한할 때마다 제곱이라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어{{Sfn|Swinnerton-Dyer|1967}}의 논문에서 비롯되었다.{{Sfn|Tate|1963}} Poonen과 Stoll은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비안과 같이 차수가 제곱의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다.{{Sfn|Poonen|Stoll|1999}} 스테인은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수이다.{{Sfn|Stein|2004}} 만약 아벨 다형체가 주극화를 갖는다면, {{수학|Ш}}의 형태는 비대칭 대칭이며, 이것은 {{수학|Ш}}의 차수가 정사각형이거나 (유한한 경우) 정사각형의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 번갈아 나타나고 {{수학|Ш}} 의 차수는 제곱이다(유한한 경우).

== 같이 보기 ==
* [[버치-스위너턴다이어 추측]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
{{참고 자료 시작|2}}
* {{인용|last1=Cassels|first1=John William Scott|title=Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups|doi=10.1112/plms/s3-12.1.259|mr=0163913|year=1962|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|series=Third Series|issn=0024-6115|volume=12|pages=259–296}}
* {{인용|last1=Cassels|first1=John William Scott|title=Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002179873|mr=0163915|year=1962b|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|issn=0075-4102|volume=211|issue=211|pages=95–112|doi=10.1515/crll.1962.211.95}}
* {{인용|last1=Cassels|first1=John William Scott|title=Lectures on elliptic curves|url=https://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=London Mathematical Society Student Texts|isbn=978-0-521-41517-0|mr=1144763|year=1991|volume=24|doi=10.1017/CBO9781139172530}}
* {{인용|last2=Silverman|first2=Joseph H.|author2-link=Joseph H. Silverman|last1=Hindry|first1=Marc|author1-link=Marc Hindry|title=Diophantine geometry: an introduction|publisher=[[슈프링어|Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Graduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-98981-5|year=2000|volume=201}}
* {{인용|last1=Greenberg|first1=Ralph|author1-link=Ralph Greenberg|editor1-last=Serre|editor1-first=Jean-Pierre|editor1-link=장피에르 세르|editor2-last=Jannsen|editor2-first=Uwe|editor3-last=Kleiman|editor3-first=Steven L.|title=Motives|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-1637-0|year=1994|chapter=Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives}}
* {{인용|last1=Kolyvagin|first1=V. A.|title=Finiteness of E(Q) and SH(E,Q) for a subclass of Weil curves|id=954295|year=1988|journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya|issn=0373-2436|volume=52|issue=3|pages=522–540, 670–671}}
* {{인용|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=서지 랭|last2=Tate|first2=John|author2-link=존 테이트|title=Principal homogeneous spaces over abelian varieties|mr=0106226|year=1958|journal=[[American Journal of Mathematics]]|issn=0002-9327|volume=80|issue=3|pages=659–684|doi=10.2307/2372778|jstor=2372778}}
* {{학위논문 인용|last1=Lind|first1=Carl-Erik|title=Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins|url=https://books.google.com/books?id=ZggUAQAAIAAJ|mr=0022563|year=1940|publisher=University of Uppsala|volume=1940|pages=97 pp.|no-pp=y}}
* {{인용|last1=Poonen|first1=Bjorn|last2=Stoll|first2=Michael|title=The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties|doi=10.2307/121064|mr=1740984|year=1999|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|issn=0003-486X|volume=150|issue=3|pages=1109–1149|arxiv=math/9911267|jstor=121064}}
* {{인용|last1=Rubin|first1=Karl|title=Tate–Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication|doi=10.1007/BF01388984|mr=903383|year=1987|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|issn=0020-9910|volume=89|issue=3|pages=527–559|bibcode=1987InMat..89..527R}}
* {{인용|last1=Selmer|first1=Ernst S.|title=The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0|doi=10.1007/BF02395746|mr=0041871|year=1951|journal=[[Acta Mathematica]]|issn=0001-5962|volume=85|pages=203–362|doi-access=free}}
* {{인용|last1=Shafarevich|first1=I. R.|title=The group of principal homogeneous algebraic manifolds|language=ru|mr=0106227|year=1959|journal=Doklady Akademii Nauk SSSR|issn=0002-3264|volume=124|pages=42–43}}  English translation in his collected mathematical papers
* {{인용|last1=Stein|first1=William A.|title=Modular curves and abelian varieties|chapter-url=http://wstein.org/papers/nonsquaresha/final2.pdf|publisher=Birkhäuser|location=Basel, Boston, Berlin|series=Progr. Math.|mr=2058655|year=2004|volume=224|chapter=Shafarevich–Tate groups of nonsquare order|pages=277–289}}
* {{인용|last1=Swinnerton-Dyer|first1=P.|editor1-last=Springer|editor1-first=Tonny A.|title=Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966)|chapter-url=https://books.google.com/books/?id=I983HAAACAAJ|publisher=[[슈프링어|Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|mr=0230727|year=1967|chapter=The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate|pages=132–157}}{{깨진 링크|url=https://books.google.com/books/?id=I983HAAACAAJ }}
* {{인용|last1=Tate|first1=John|author1-link=존 테이트|title=WC-groups over p-adic fields|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0|publisher=Secrétariat Mathématique|location=Paris|series=Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958|mr=0105420|year=1958|volume=13}}
* {{인용|last1=Tate|first1=John|author1-link=존 테이트|title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962)|chapter-url=http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/|publisher=Inst. Mittag-Leffler|location=Djursholm|mr=0175892|year=1963|chapter=Duality theorems in Galois cohomology over number fields|pages=288–295|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110717144510/http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/|archive-date=2011-07-17}}
* {{인용|last1=Weil|first1=André|author1-link=앙드레 베유|title=On algebraic groups and homogeneous spaces|mr=0074084|year=1955|journal=[[American Journal of Mathematics]]|issn=0002-9327|volume=77|issue=3|pages=493–512|doi=10.2307/2372637|jstor=2372637}}
{{참고 자료 끝}}

[[분류:수론]]
[[분류:대수기하학]]