탈레스 정리 (평행) 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서, '''탈레스 정리'''({{llang|en|Thales' theorem}})는 [[삼각형]]의 밑변에 [[평행]]한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다. 

== 정의 ==
[[평면]] 위 3개의 서로 다른 [[평행선]] <math>l</math>, <math>l'</math>, <math>l''</math>이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 <math>l</math>, <math>l'</math>, <math>l''</math>과 하나는 각각 점 <math>A</math>, <math>A'</math>, <math>A''</math>에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 <math>B</math>, <math>B'</math>, <math>B''</math>에서 만난다고 하자. '''탈레스 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>\frac{\overrightarrow{AA''}}{\overrightarrow{AA'}}
=\frac{\overrightarrow{BB''}}{\overrightarrow{BB'}}</math>
특히, 만약 <math>A''</math>이 <math>A</math>에 대하여 <math>A'</math>과 같은 쪽에 있다면, <math>B''</math> 역시 <math>B</math>에 대하여 <math>B'</math>과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 <math>A''</math>이 <math>A</math>에 대하여 <math>A'</math>과 다른 쪽에 있다면, <math>B''</math> 역시 <math>B</math>에 대하여 <math>B'</math>과 다른 쪽에 있다.

== 증명 ==
우선 <math>\overrightarrow{AA''}/\overrightarrow{AA'}=1/2</math>인 경우를 보이자. <math>A</math>를 지나는 <math>BB'</math>의 평행선과 <math>l''</math>의 교점을 <math>C''</math>이라고 하고, <math>A''</math>을 지나는 <math>BB'</math>의 평행선과 <math>l'</math>의 교점을 <math>C'</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>\angle A''AC''=\angle A'A''C'</math>, <math>AA''=A''A'</math>, <math>\angle AA''C''=\angle A''A'C'</math>이므로, 삼각형 <math>AA''C''</math>과 <math>A''A'C'</math>은 [[합동 (기하학)|합동]]이며, 특히 <math>\overrightarrow{AC''}=\overrightarrow{A''C'}</math>이다. 사각형 <math>ABB''C''</math>, <math>A''B''B'C'</math>은 모두 [[평행 사변형]]이므로,
:<math>\overrightarrow{BB''}=\overrightarrow{AC''}=\overrightarrow{A''C'}=\overrightarrow{B''B'}</math>
이다. 즉, <math>\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=1/2</math>가 성립한다.

이는 비가 [[유리수]]인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 <math>m</math>과 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=m/n</math>이라고 하자. 선분 <math>AA'</math>을 <math>n</math>등분하고, 직선 <math>AA'</math>의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 <math>n</math>등분점을 지나는 <math>l</math>의 평행선과 직선 <math>BB'</math>의 교점 역시 선분 <math>BB'</math>을 <math>n</math>등분하며, 또한 직선 <math>BB'</math>의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 <math>\overrightarrow{AA''}/\overrightarrow{AA'}=m/n</math>이 성립한다.

이제 <math>\overrightarrow{AA''}/\overrightarrow{AA'}=\lambda</math>가 일반적인 실수인 경우를 보이자. <math>\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=\mu</math>이라고 가정하자. 임의의 유리수 <math>q</math>에 대하여, 직선 <math>AA'</math> 위에서 <math>\overrightarrow{AP}=q\overrightarrow{AA'}</math>인 점 <math>P</math>를 취하고, <math>P</math>를 지나는 <math>l</math>의 평행선과 직선 <math>BB'</math>의 교점을 <math>Q</math>라고 하자. 그렇다면 <math>\overrightarrow{BQ}=q\overrightarrow{BB'}</math>이다. <math>A''B''</math>과 <math>PQ</math>는 평행하므로, 만약 <math>\lambda<q</math>라면 <math>\mu<q</math>, 만약 <math>\lambda=q</math>라면 <math>\mu=q</math>, 만약 <math>\lambda>q</math>라면 <math>\mu>q</math>이다. 유리수가 실수 집합의 [[조밀 집합]]을 이룬다는 사실에 의하여, <math>\mu=\lambda</math>가 성립한다.

== 따름정리와 일반화 ==
=== 닮음 삼각형의 성질 ===
[[삼각형]] <math>ABC</math>의 두 변 <math>AB</math>, <math>AC</math>의 직선과 점 <math>B'</math>, <math>C'</math>에서 만나는 직선 <math>B'C'</math>이 다른 한 변 <math>BC</math>에 평행한다고 하자. 그렇다면,
:<math>\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB'}}
=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}
=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B'C'}}</math>
이다.<ref name="Audin">{{서적 인용
|성=Audin
|이름=Michèle
|제목=Geometry
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-43498-6
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-642-56127-6
}}</ref>{{rp|25, §I.3, Corollary 3.3}}
{{증명}}
점 <math>A</math>를 지나는 <math>BC</math>의 평행선과 직선 <math>BC</math>, <math>B'C'</math>에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.
:<math>\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB'}}
=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}}=\lambda</math>
라고 하자. 그렇다면,
:<math>\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B'C'}}
=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}
=\frac{\lambda\overrightarrow{AC'}-\lambda\overrightarrow{AB'}}{\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}}=\lambda</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 중심 닮음 변환의 성질 ===
평면 위의 [[중심 닮음 변환]]은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.
{{증명}}
우선, 중심 닮음 변환은 [[아핀 변환]]이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 <math>O</math>라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 <math>A</math>, <math>B</math>를 취하자. <math>A</math>의 상을 <math>A'</math>이라고 하고, <math>A'</math>을 지나는 <math>AB</math>의 평행선과 직선 <math>OB</math>의 교점을 <math>B'</math>이라고 하자. 그렇다면
:<math>\frac{\overrightarrow{OB'}}{\overrightarrow{OB}}=\frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}</math>
이므로, <math>B'</math> 역시 <math>B</math>의 상이다. 따라서 직선 <math>AB</math>의 상직선 <math>A'B'</math>은 원래 직선에 평행한다.
{{증명 끝}}

=== 다차원 아핀 공간 일반화 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math>의 서로 다른 평행 [[아핀 초평면]] <math>H,H',H''\subseteq A</math>가 주어졌고, 어떤 [[아핀 직선]] <math>L\subseteq A</math>가 <math>H</math>, <math>H'</math>, <math>H''</math>과 각각 점
:<math>a=H\cap L</math>
:<math>a'=H'\cap L</math>
:<math>a''=H''\cap L</math>
에서 만난다고 하자. 그렇다면,
:<math>\frac{\overrightarrow{aa''}}{\overrightarrow{aa'}}\in K</math>
은 아핀 초평면 <math>H</math>, <math>H'</math>, <math>H''</math>에만 의존하며, 아핀 직선 <math>L</math>의 선택과 무관하다.<ref name="Berger">{{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}</ref>{{rp|49, §2.5, Proposition 2.5.1}}
{{증명}}
아핀 초평면 <math>H</math>의 [[평행 이동]]들로 구성된 [[벡터 공간]] <math>V(H)</math>에 대한 [[몫아핀 공간]] <math>A/V(H)</math>로 가는 아핀 사영 변환
:<math>P\colon A\to A/V(H)</math>
를 생각하자. 그렇다면 <math>P</math>는 [[아핀 변환]]이며, 유도된 [[선형 변환]] <math>\overrightarrow P</math>를 갖는다. 이제
:<math>\overrightarrow{aa''}=\lambda\overrightarrow{aa'}\qquad(\lambda\in K)</math>
라고 가정하자. 그렇다면
:<math>\overrightarrow P(\overrightarrow{aa''})=\lambda\overrightarrow P(\overrightarrow{aa'})</math>
이며, <math>\overrightarrow P</math>의 정의에 의하여
:<math>\overrightarrow{P(a)P(a'')}=\lambda\overrightarrow{P(a)P(a')}</math>
이다. 따라서,
:<math>\lambda
=\frac{\overrightarrow{P(a)P(a'')}}{\overrightarrow{P(a)P(a')}}
=\frac{\overrightarrow{P(H)P(H'')}}{\overrightarrow{P(H)P(H')}}</math>
은 아핀 직선 <math>L</math>의 선택과 무관하다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[고대 그리스]]의 수학자 [[탈레스]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}
[[분류:아핀기하학]]
[[분류:평면기하학 정리]]