탁구 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Competitive table tennis.jpg|thumb|right|탁구 정리의 이름은 [[탁구]]에서 공이 번갈아 움직이는 것에 빗댄 것이다.]]
[[군론]]에서, '''탁구 정리'''(卓球定理, {{llang|en|ping-pong lemma}})는 어떤 [[부분군]]들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 [[자유곱]]임을 보이는 정리이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[군 (수학)|군]] <math>G</math>
* <math>G</math>의, [[집합]] <math>X</math> 위의 [[군의 작용|왼쪽 작용]]
* <math>G</math>의 두 부분군 <math>H, H' \le G</math>
* <math>X</math>의 두 [[부분 집합]] <math>Y,Y'\subseteq X</math>
또한, 다음이 성립한다고 하자.
* <math>|H|\ge3</math>
* <math>Y \ne \varnothing \ne Y'</math>
* <math>Y \not \subseteq Y'</math>
* <math>h'\cdot Y \subseteq Y' \qquad\forall h'\in H'\setminus\{1\}</math>
* <math>h\cdot Y' \subseteq Y \qquad\forall h\in H\setminus\{1\}</math>
'''탁구 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>\langle H\cup H'\rangle = H*H'</math>
여기서 좌변은 <math>G</math>의 [[부분 집합]]으로 생성되는 [[부분군]]이며, 우변은 군들의 [[자유곱]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의
:<math>a_0,a_2,\dotsc\in H\setminus\{1\}</math>
:<math>b_1,b_3,\dotsc\in H\setminus\{1\}</math>
:<math>n\in\mathbb Z^+</math>
에 대하여,
* ㈎ <math>a_0 b_1 a_2 \dotsm a_{n+1} \ne 1</math>
* ㈏ <math>b_1 a_2 b_3 \dotsm b_n \ne 1</math>
* ㈐ <math>a_0 b_1 a_2 \dotsm b_n \ne 1</math>
* ㈑ <math>b_1 a_2 b_3 \dotsm a_{n+1} \ne 1</math>
임을 보이면 족하다.

우선, ㈎의 경우는
:<math>a_0 b_1\dotsm a_n \cdot Y' \subseteq a_0 b_1\dotsm b_n \cdot Y'\subseteq \dotsb \subseteq a_0Y' \subseteq Y</math>
인데, <math>Y'\not\subseteq Y</math>이므로 <math>a_0 b_0\dotsm b_na_n \ne 1</math>이다.

㈏의 경우, 임의의 <math>a_0 = a_{n+1}^{-1} \in H \setminus\{1\}</math>를 고르면, ㈎에 의하여 <math>a_0(b_1\dotsm b_{n-1})a_0^{-1} \ne 1</math>이므로 <math>b_1\dotsm b_{n-1} \ne 1</math>이다.

㈐의 경우, 임의의 <math>a_{n+1} \in H\setminus\{1,a_0\}</math>를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 <math>a_{n+1}^{-1}(a_0b_0\dotsm b_n)a_{n+1} \ne 1</math>이므로, <math>a_0b_0\dotsm b_{n-1}\ne1</math>이다.

㈑의 경우, 임의의 <math>a_0 \in H\setminus\{1,a_{n+1}\}</math>를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 <math>a_0(b_1a_2\dotsm b_na_{n+1})a_0^{-1} \ne 1</math>이므로, <math>b_1a_2\dotsm b_na_{n+1}\ne1</math>이다.
</div></div>

== 역사 ==
이 정리의 이름은 증명 과정에서 <math>H</math>와 <math>H'</math>의 번갈아 가는 [[군의 작용]]을 [[탁구]]에서 [[탁구공]]을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.

탁구 정리는 [[펠릭스 클라인]]이 19세기 말에 [[클라인 부분군]]을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 [[자크 티츠]] 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다.

== 예 ==
<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>에서,
:<math>A = \begin{pmatrix}
1&2\\0&1
\end{pmatrix}</math>
:<math>B = \begin{pmatrix}
1&0\\2&1
\end{pmatrix}</math>
로 생성되는 부분군을 생각하자. <math>A</math>와 <math>B</math>는 각각 무한 차수의 원소이다. (즉, <math>A^n = 1</math>이 되는 <math>n\in\mathbb Z</math>는 <math>n=0</math> 밖에 없으며, <math>B</math>의 경우도 마찬가지이다.) 사실,
:<math>A^n = \begin{pmatrix}
1&2n\\
0&1
\end{pmatrix}</math>
:<math>B^n = \begin{pmatrix}
1&0\\
2n&1
\end{pmatrix}</math>
이다. 이제, <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>는 <math>X=\mathbb R^2 = \mathbb Z^{\oplus2}\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R^2</math> 위에 [[선형 변환]]으로 작용한다.
 
:<math>Y = \{(x,y)\in X\colon |x|>|y|\}</math>
:<math>Y' = \{(x,y)\in X\colon |x|<|y|\}</math>
로 잡으면,
:<math>A^n Y' \subseteq Y</math>
:<math>B^n Y \subseteq Y'</math>
임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 탁구 정리에 의하여 <math>\langle A,B\rangle </math>은 2개의 원소로 생성되는 [[자유군]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[자유군]]
* [[자유곱]]
* [[클라인 부분군]]
== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://math.la.asu.edu/~paupert/CookPingPongLemma.pdf | 제목=The ping-pong lemma | 이름=Mary | 성=Cook | 날짜=2016-04-29 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Ping-pong_lemma|제목=Ping-pong lemma|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:대수학]]
[[분류:리 군]]
[[분류:이산 군]]