타원형 미분 연산자 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''타원형 미분 연산자'''(楕圓型微分演算子, {{llang|en|elliptic differential operator}})는 [[라플라스형 연산자]]와 유사한 일종의 [[양의 정부호]]성 조건을 만족시키는 짝수차 [[미분 연산자]]이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 올 위의 매끄러운 [[양의 정부호]] 내적 <math>\langle,\rangle</math>

만약 유한 차수 <math>k<\infty</math>의 미분 작용소
:<math>D\colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>D</math>를 '''타원형 미분 연산자'''라고 한다.
:<math>\inf_{(x,\xi)\in\mathrm T_x^*X\setminus X,\;v\in E_x}\frac{\langle\sigma_D(\overbrace{\xi,\xi,\ldots,\xi}^k,v),v\rangle}{\langle v,v\rangle (g^{-1}(\xi,\xi))^{k/2}}
>0</math>
여기서 <math>\sigma_D</math>는 [[미분 연산자]] <Math>D</math>의 [[주표상]]이다.

모든 타원형 미분 연산자는 [[홀수와 짝수|짝수]] 차수이다. (홀수 차수일 경우 <math>\sigma_D(-\xi,\ldots,-\xi,v)=-\sigma_D(\xi,\ldots,\xi,v)</math>가 된다.)

타원형 미분 연산자 <math>D</math>로 정의되는 선형 [[편미분 방정식]], 즉
:<math>Df=g\qquad(f,g\in \Gamma^\infty(E))</math>
의 꼴의 선형 [[편미분 방정식]]을 '''타원형 편미분 방정식'''(楕圓型偏微分方程式, {{llang|en|elliptic partial differential equation}})이라고 한다.

=== 약타원형 연산자 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>(M,g)</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>

만약 모든 <math>x\in X</math> 및 <math>\xi\in\mathrm T_x^*X\setminus\{0\}</math>에 대하여 <math>\sigma_P(x,\xi)\colon E_x\to F_x</math>가 [[실수 벡터 공간]]의 [[동형 사상]]이라면, <math>P</math>를 '''약타원형 미분 연산자'''(弱楕圓型微分演算子, {{llang|en|weakly elliptic operator}})라고 한다. 유한 개의 약타원형 미분 연산자의 합성은 약타원형 미분 연산자이다.

모든 타원형 미분 연산자는 약타원형 미분 연산자이다.

== 성질 ==
=== 차수 ===
2차원 이상 [[매끄러운 다양체]] 위의 타원형 미분 연산자는 항상 짝수 차수이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>n\ge 2</math>일 때, <math>n</math>차원 다양체의 임의의 점에서, <math>k</math>차 미분 연산자 <math>D</math>의 [[주표상]]이 <math>k</math>차 [[동차 다항식]]
:<math>\sigma(x_1,x_2,\dotsc,x_n)</math>
이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\sigma(x,1,0,0,\dotsc,0) = p(x) = \sum_{i=0}^k a_i x^i </math>
를 생각하자. 만약 <math>a_k = 0</math>이라면,
:<math>\sigma(1,0,0,0,\dotsc,0) = 0</math>
이므로 <math>D</math>는 타원형 미분 연산자가 아니다. 만약 <math>a_k \ne 0</math>이라면,
:<math>p(x) = a_k x^k + \dotsb </math>
는 <math>k</math>차 [[다항식]]이다. <math>k</math>가 홀수라면, 이 다항식은 항상 근
:<math>p(\alpha) = 0</math>
을 가진다. 그렇다면
:<math>\sigma(\alpha,1,0,0,\dotsc,0) = p(\alpha) = 0</math>
이므로 <math>D</math>는 타원형 미분 연산자가 아니다.
</div></div>
반면, 1차원 [[매끄러운 다양체]] (= 매끄러운 곡선) 위에서는 임의의 홀수 차수의 타원형 미분 연산자가 존재한다. 그러나 이 경우는 [[상미분 방정식]]에 해당하므로, 자명한 경우로 취급한다.

=== 정칙성 ===
[[리만 다양체]] <math>M</math>위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math> 위의 [[자기 수반 작용소|자기 수반]] 타원형 미분 연산자
:<math>D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다.
* <math>\dim\ker D<\infty</math>. 다시 말해, 타원형 연산자로 정의된 동차 [[편미분 방정식]] <Math>Df=0</math>은 유한 개의 [[일차 독립 집합|일차 독립]] 해를 갖는다.
* <math>\Gamma^\infty(E)=\ker D\oplus \operatorname{im} D</math>
이를 '''타원형 정칙성 정리'''({{llang|en|elliptic regularity theorem}})라고 한다.

=== 준타원성 ===
([[매끄러운 함수]] 계수의) 모든 타원형 미분 연산자는 [[준타원형 미분 연산자]]이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

== 예 ==
[[리만 다양체]] 위의 [[라플라스 연산자]]는 2차 타원형 미분 연산자이며, 그 상수는 1이다. 마찬가지로, 보다 일반적으로 [[리만 다양체]] 위의 [[라플라스형 연산자]]는 상수 1의 타원형 미분 연산자이다.

[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 내적을 갖춘 [[매끄러운 벡터 다발]] <Math>E</math> 위의 0차 미분 연산자 <math>D</math>가 타원형 미분 연산자가 될 [[필요 충분 조건]]은 모든 올에서 [[이차 형식]] <math>\langle -,D_x-\rangle</math>가 [[양의 정부호 이차 형식]]이며, 또한 양의 정부호성이 다음과 같이 균등한 것이다.
:<math>\inf_{x\in X}\inf_{v\in E_x\setminus\{0\}}\frac{\langle v,D_xv\rangle}{\langle v,\rangle v}\ge0</math>
즉, <math>D_x</math>의 [[고윳값]] 가운데 최솟값을 <math>\lambda_{\min}(x)</math>라고 하면,
:<math>\inf_{x\in X}\lambda_{\min}(x)>0</math>
이어야 한다. 이는 [[연속 함수]]이므로, 만약 <math>M</math>이 [[콤팩트 공간]]이라면 이는 올별 양의 정부호성에 의하여 자동적으로 함의된다.

=== 1차원 다양체 위의 타원형 미분 연산자 ===
<math>C</math>가 1차원 [[매끄러운 다양체]](즉, 매끄러운 곡선)이라고 하고, 그 좌표를 <math>t</math>라고 하자. 그 위의 (자명한 1차원 벡터 다발의) <math>k</math>차 미분 연산자는
:<math>\sum_{i=0}^k a_i(x) \frac{\mathrm d^i}{\mathrm dt^i}</math>
의 꼴이다. 이 미분 연산자가 <math>k</math>차 타원형 미분 연산자일 [[필요 충분 조건]]은 임의의 <Math>t\in C</math>에 대하여 <math>a_k(t) \ne 0</math>인 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[준타원형 미분 연산자]]
* [[타원 복합체]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|장url=https://dmitripavlov.org/scans/atiyah.pdf|장=Global theory of elliptic operators|이름=Michael F.|성=Atiyah|저자링크=마이클 아티야|제목=Proceedings of the International Conference on Functional Analysis and Related Topics, Tokyo, April, 1969|위치=[[도쿄]]|출판사=일본 수학회|날짜=1969|쪽=21–30|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Elliptic operator}}
* {{eom|title=Elliptic partial differential equation}}
* {{eom|title=Elliptic partial differential equation, numerical methods }}
* {{eom|title=Linear elliptic partial differential equation and system }}
* {{eom|title=Degenerate elliptic equation }}
* {{매스월드|id=EllipticPartialDifferentialEquation|title=Elliptic partial differential equation}}
* {{nlab|id=elliptic differential operator|title=Elliptic differential operator}}
* {{nlab|id=zeta function of an elliptic differential operator|title=Zeta function of an elliptic differential operator}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분 연산자]]
[[분류:타원 편미분 방정식]]