킬링 벡터장 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리만 기하학]]에서 '''킬링 벡터장'''(Killing vector場, {{llang|en|Killing vector field}})은 주어진 [[리만 다양체]]의 [[등거리 변환]]의 무한소 생성원인 [[벡터장]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=현대 기하학 입문|저자1= 권영헌|저자2=윤달선|isbn=978-89-7282535-7|출판사=京文社|날짜=2002|언어=ko}}</ref>{{rp|214, 부록 C}} 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 [[리 대수]]를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
=== 킬링 벡터장 ===
[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 <math>X\in\Gamma(\mathrm TM)</math>에 대하여, [[리 미분]]
:<math>\mathcal L_Xg</math>
을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 [[벡터 공간]] 위의 [[선형 변환]]을 정의한다.

만약
:<math>\mathcal L_Xg=0</math>
이 성립한다면, <math>X</math>를 <math>(M,g)</math>의 '''킬링 벡터장''' <math>X\in\Gamma(\mathrm TM)</math>이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 [[벡터 공간]]은 [[선형 변환]]
:<math>X\mapsto \mathcal L_Xg</math>
의 [[핵 (수학)|핵]]이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.

<math>\mathcal L_Xg=0</math>을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.<ref name="CGP"/>{{rp|§3.3, (3.10)}}
:<math>\nabla_{(\mu}X_{\nu)}=0</math>
여기서 <math>\nabla</math>는 [[공변 미분]]이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건(<math>\nabla_\mu X_\nu=0</math>)을 약화시킨 것이다.

<math>(M,g)</math>의 [[등거리 변환]]들은 (유한 차원) [[리 군]]
:<math>\operatorname{Isom}(M,g)=\{f\in\mathcal C^\infty(M;M)\colon f^*g=g\}</math>
을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 [[리 대수]] <math>\mathfrak{isom}(M,g)</math>를 이룬다.

=== 킬링 지평선 ===
[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 킬링 벡터장 <math>X</math>가 주어졌을 때, 부분 집합 <math>\{x\in M\colon g(X,X)|_x=0\}</math>을 <math>X</math>의 '''킬링 지평선'''(Killing地平線, {{llang|en|Killing horizon}})이라고 한다.<ref name="CGP"/>{{rp|§3.3}} 이는 일반적으로 특이점을 가져 [[다양체]]가 아닐 수 있다.

== 성질 ==
정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 [[등각 벡터장]]이다.

=== 리 대수 구조 ===
[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 [[리 대수]]를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 [[리 미분|리 괄호]] 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 [[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>, <math>(M',g')</math>에 대하여, 표준적으로
:<math>\mathfrak{isom}(M\sqcup M',g\sqcup g')\cong\mathfrak{isom}(M,g)\oplus\mathfrak{isom}(M',g')</math>
이다.

<math>k</math>개의 [[연결 성분]]을 갖는, <math>n</math>차원의 [[일반화 리만 다양체]]의 킬링 리 대수의 차원은 <math>kn(n+1)/2</math> 이하이다.<ref name="Wald"/>{{rp|443, §C.3}} (이 상한은 예를 들어 [[유클리드 공간]]·[[초구]]·[[쌍곡 공간]]·[[민코프스키 공간]]·[[더 시터르 공간]]·[[반 더 시터르 공간]] 및 이들의 [[분리합집합]]에 의하여 포화된다.)

=== 위상 수학적 성질 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>M</math>의 [[리치 곡률 텐서]]가 [[음의 정부호 이차 형식]]이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
* 만약 모든 [[단면 곡률]]이 양수이며, <math>M</math>의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 <math>X</math>에 대하여, <math>X|_x=0\in\mathrm T_xM</math>인 <math>x\in M</math>이 존재한다.

=== 조화 함수와의 관계 ===
[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 킬링 벡터장 <math>X</math>의 [[발산 (벡터)|발산]]은 0이다.
:<math>\nabla\cdot X=0</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\nabla\cdot X=g^{\mu\nu}\nabla_\mu X_\nu=\frac12g^{\mu\nu}(\nabla_\mu X_\nu-\nabla_\nu X_\mu)=\frac12(g^{\mu\nu}-g^{\nu\mu})\nabla_\mu X_\nu=0</math>
</div></div>

<math>X</math>의 2차 공변 미분은 다음과 같이 [[리만 곡률 텐서]]에 비례한다.<ref name="Wald">{{서적 인용|제목=General relativity|이름=Robert M.|성=Wald|출판사=University of Chicago Press|날짜=1984-06|zbl=0549.53001|url=http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/G/bo5952261.html|isbn=978-022687033-5|언어=en}}</ref>{{rp|442, (C.3.6)}}
:<math>\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho=R_{\rho\nu\mu\sigma}X^\sigma</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[리만 곡률 텐서]]의 정의에 따라
:<math>[\nabla_\mu,\nabla_\nu]X_\rho=R_{\mu\nu\rho}{}^\sigma X_\sigma</math>
이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라
:<math>\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho+\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu=R_{\mu\nu\rho}{}^\sigma X_\sigma</math>
이다. 이제, 양변에 <math>(\mu,\nu,\rho)</math>에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,
:<math>
2(\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho+\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu+\nabla_\rho\nabla_\mu X_\nu)
=
(R_{\mu\nu\rho}{}^\sigma
+R_{\nu\rho\mu}{}^\sigma
+R_{\rho\mu\mu}{}^\sigma
)X_\sigma=0</math>
이다. 따라서,
:<math>
\nabla_\mu\nabla_\nu X_\rho
=-(\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu+\nabla_\rho\nabla_\mu X_\nu)
=-\nabla_\nu\nabla_\rho X_\mu+\nabla_\rho\nabla_\nu X_\mu
=R_{\rho\nu\mu\sigma}X^\sigma
</math>
이다.
</div></div>
특히, <math>X</math>의 [[라플라스-벨트라미 연산자]]는 다음과 같이 [[리치 곡률 텐서]]에 비례한다.<ref name="Wald"/>{{rp|443, (C.3.9)}}
:<math>\nabla^2 X_\mu=-R_{\mu\nu}X^\nu</math>
특히, [[아인슈타인 방정식]]의 진공해의 경우 <math>R_{\mu\nu}=0</math>이며, <math>X_\mu</math>의 [[라플라스-벨트라미 연산자]]는 0이다. 물리학적으로, 이는 <math>X_\mu</math>가 진공 [[맥스웰 방정식]]을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 <math>X_\mu</math>는 [[로렌츠 게이지 조건]] <math>\nabla\cdot X=0</math> 역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Black hole in a uniform magnetic field|이름=Robert M.|성=Wald|저널=Physical Review D|권=10|호=6|쪽=1680–1685|날짜=1974-09-15|doi=10.1103/PhysRevD.10.1680|issn=2470-0010|언어=en}}</ref>

=== 측지선에 대한 물리량의 보존 ===
[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 킬링 벡터장 <math>X</math>와 [[측지선]]
:<math>\gamma\colon\mathbb R\to M</math>
:<math>\gamma\colon t\mapsto \gamma(t)</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g(X|_{\gamma(t)},\dot\gamma(t))=0\qquad\forall t\in\mathbb R</math>
즉, 킬링 벡터장 <math>X</math>가 주어졌을 때, [[속력]]과 킬링 벡터장의 내적 <math>g(X,\dot\gamma)</math>는 [[측지선]]을 따라 변하지 않는 물리량이다.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[벡터장]] <math>Y</math>가
:<math>Y|_{\gamma(t)}=\dot\gamma(t)\in\mathrm T_{\gamma(t)}M\qquad\forall t\in\mathbb R</math>
인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 <math>\gamma</math>가 [[단사 함수]]가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)

측지선은 측지선 방정식
:<math>(Y^\mu\nabla_\mu Y^\nu)|_{\gamma(t)}=0\qquad\forall t\in\mathbb R</math>
을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여
:<math>
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g(X|_{\gamma(t)},\dot\gamma(t))
=
\left.Y^\mu\nabla_\mu(X_\nu Y^\nu)\right|_{\gamma(t)}
=
\left.Y^\mu\left((\nabla_\mu X_\nu)Y^\nu+X_\nu \nabla_\mu Y^\nu
\right)\right|_{\gamma(t)}=0
</math>
이다.
</div></div>

마찬가지로, [[일반 상대성 이론]]에서는 [[뇌터 정리]]에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 [[보존 법칙]]이 존재한다. 구체적으로, [[에너지-운동량 텐서]] <math>T_{\mu\nu}=(R_{\mu\nu}-Rg_{\mu\nu}/2)/(8\pi G)</math>를 생각할 때,
:<math>\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0</math>
:<math>T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}</math>
이므로, 임의의 벡터장 <math>X^\mu</math>에 대하여
:<math>\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)=T^{\mu\nu}\nabla_\mu X_\nu
=\frac12T^{\mu\nu}\left(\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu\right)
</math>
이다. 따라서, 만약 <math>X^\mu</math>가 킬링 벡터장이라면 <math>T^{\mu\nu}X_\nu</math>는 공변 보존류이다.

=== 표면 중력 ===
{{본문|표면 중력}}
킬링 지평선의 경우, 대응하는 [[표면 중력]]을 정의할 수 있다.

구체적으로, [[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 킬링 벡터장 <math>X</math>가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수
:<math>\kappa\colon\{x\in M\colon g(X,X)|_x=0\}\to\mathbb R</math>
가 존재하며, 이 <math>\kappa</math>를 킬링 지평선 <math>\{x\in M\colon g(X,X)|_x=0\}</math>의 '''[[표면 중력]]'''이라고 한다.
:<math>\partial_\mu\left(g(X,X)\right)=-2\kappa g_{\mu\nu}X^\nu</math>
이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.
:<math>X^\mu \nabla_\mu X^\nu=\kappa X^\nu</math>
위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, <math>\kappa</math>를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.

일부 경우, <math>\kappa</math>는 사실 킬링 지평선 위의 [[상수 함수]]임을 보일 수 있다.<ref name="CGP"/>{{rp|§3.3}}
* 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 <math>x\partial_t+t\partial_x</math>와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
* [[우세 에너지 조건]]이 성립할 경우

=== 킬링 지평선 근처의 기하 ===
<math>d+1</math>차원 [[로런츠 다양체]] <math>(M,g)</math>의 킬링 벡터장 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 또한, <math>X</math>가 <math>U\subseteq M</math>에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, <math>g(X,X)|_x<0\qquad\forall x\in U</math>). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 <math>(t,x^i)</math>를 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm ds^2=-f(x)^2(\mathrm dt+\theta_i(x)\mathrm dx^i)^2+h_{ij}(x)\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx^j</math>
여기서 <math>h_{ij}</math>는 [[양의 정부호 이차 형식]]이며, <math>i,j\in\{1,2,\dots,d\}</math>이며, 또한 <math>f</math>와 <math>\theta_i</math>와 <math>h_{ij}</math>는 <math>(x^1,\dots,x^d)</math>에만 의존하고, <math>t</math>에 의존하지 않는다. 이 경우, <math>h_{ij}</math>를 '''궤도 공간 계량'''(軌道空間計量, {{llang|en|orbit-space metric}})이라고 한다.

== 일반화 ==
킬링 벡터장의 개념을, [[접다발]] 대신 다른 [[벡터 다발]]의 [[단면 (올다발)|단면]]에 대하여 일반화할 수 있다.

=== 킬링 텐서장과 킬링 스피너장 ===
유사하게 킬링 [[텐서]] 및 킬링 [[스피너]]장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 <math>T</math>는 다음을 만족한다.
:<math>\mathcal L_XT=0</math>
:<math>\nabla_{(\mu}T_{\nu\rho)}=0</math>

=== 정칙 킬링 벡터장 ===
[[켈러 다양체]]는 [[리만 계량|리만 구조]]와 더불어 [[복소 구조]]를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 '''정칙 킬링 벡터장'''(正則Killing vector場, {{llang|en|holomorphic Killing vector field}})라고 한다.<ref>{{서적 인용|성=Wess|이름=Julius|저자링크=율리우스 베스|이름2=Jonathan|성2=Bagger|제목=Supersymmetry and supergravity|출판사=Princeton University Press|날짜=1992|ISBN=0-691-02530-4|bibcode=1992susu.book.....W|언어=en}}</ref>{{rp|239–244}}<ref>{{서적 인용|이름=Daniel Z.|성=Freedman|이름2=Antoine|성2=Van Proeyen|제목=Supergravity|출판사=Cambridge University Press|url=http://cambridge.org/9780521194013|isbn=9780521194013|날짜=2012-04|doi=10.1017/CBO9781139026833|bibcode=2012supe.book.....F|언어=en}}</ref>{{rp|266–270}} 켈러 다양체의 [[접다발]] <math>TM^{\mathbb C}</math>은 [[해석적 벡터다발|정칙적 부분]] <math>T^+M</math>과 반정칙적 부분 <math>T^-M</math>으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 <math>T^+M</math>의 단면이다.

<math>X^i</math>가 켈러 다양체 <math>(M,g_{i\bar\jmath})</math> 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.
:<math>\nabla_iX^kg_{k\bar\jmath}+\bar\nabla_{\bar\jmath}\bar X^{\bar k}g_{\bar ki}=0</math>
이에 따라, <math>X</math>는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>X^i=-ig^{i\bar\jmath}\bar\partial_{\bar\jmath}D(z,\bar z)</math>
:<math>\bar X^{\bar\imath}=ig^{j\bar\imath}\partial_jD(z,\bar z)</math>
여기서 <math>D(z,\bar z)</math>는 '''킬링 퍼텐셜'''({{llang|en|Killing potential}})이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 [[운동량 사상]]의 한 예로 볼 수 있다.

== 예 ==
공변 상수 벡터장 (즉, <math>\nabla_\mu X^\nu=0</math>인 벡터장 <math>X</math>)은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.

[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 킬링 벡터장 <math>X</math> 및 국소 좌표계 <math>(x^1,\dots,x^n)</math>이 주어졌으며, 계량 텐서 <math>g_{\mu\nu}</math>의 성분이 <math>x^1</math>에 의존하지 않는다고 하자.
:<math>\frac\partial{\partial x^1}g_{\mu\nu}=0\qquad\forall \mu,\nu\in\{1,\dots,n\}</math>
그렇다면, 벡터장
:<math>\frac\partial{\partial x^1}</math>
은 킬링 벡터장이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
벡터장
:<math>X^\mu=\delta^\mu_1</math>
이 주어졌을 때,
:<math>X_\mu=g_{\mu\nu}X^\nu=g_{\mu1}</math>
이다. 그렇다면,
:<math>\nabla_\nu X_\mu+\nabla_\mu X_\nu=\partial_\nu X_\mu+\partial_\mu X_\nu-2\Gamma^\rho_{\mu\nu}X_\rho
=\partial_\nu g_{\mu1}+\partial_\mu g_{\nu1} - (\partial_\nu g_{1\mu}+\partial_\mu g_{1\nu}-\partial_1g_{\mu\nu} ) = \partial_1g_{\mu\nu}</math>
이다.
</div></div>

=== 슈바르츠실트 계량 ===
{{본문|슈바르츠실트 계량}}
<math>D</math>차원 시공간의 [[슈바르츠실트 계량]]
:<math>\mathrm ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{D-3}\right)dt^2+\left(1-(r_0/r)^{D-3}\right)^{-1}\,\mathrm dr^2+r^2\,\mathrm d\Omega_{D-2}^2</math>
에서, <math>\partial/\partial t</math>는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는
:<math>g_{tt}=-1+(r_0/r)^{D-3}=0</math>
이 되는 곳, 즉 <math>r=r_0</math>이며, 이는 (일반) [[사건 지평선]]과 일치한다.

이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은 <math>\mathrm{SO}(D-1)</math> 대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.

=== 커 계량 ===
{{본문|커 계량}}
마찬가지로, 3+1차원 [[커 계량]]
:<math>\mathrm ds^2 = -\left( 1 - \frac{r_0r}{\rho^2} \right) \mathrm dt^2 + \frac{\rho^2\,\mathrm dr^2}{r^2-r_0r+\alpha^2} + \rho^2\,\mathrm d\theta^2 + \left( r^2+ \alpha^2+ \frac{r_0r \alpha^2}{\rho^2} \sin^2\theta \right) \sin^2\theta\,\mathrm d\phi^2 + \frac{2r_0r\alpha \sin^2\theta }{\rho^2}\,\mathrm dt\,\mathrm d\phi</math>
:<math>\rho^2=r^2+\alpha^2\cos^2\theta</math>
은 두 킬링 벡터
:<math>\frac\partial{\partial t}</math>
:<math>\frac\partial{\partial\phi}</math>
를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.

전자에 대응하는 킬링 지평선은
:<math>rr_0=\rho^2</math>
의 두 해에 위치한다. 이는 [[2차 방정식]]이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 [[사건 지평선]]이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 [[작용권]]의 경계이다.

=== 민코프스키 공간 ===
2차원 [[민코프스키 공간]]
:<math>\mathbb R^{1,1}=\{(t,x)\}</math>
:<math>\mathrm ds^2=-\mathrm dt^2+\mathrm dx^2</math>
에서, 킬링 벡터장
:<math>X=x\partial_t+t\partial_x</math>
를 생각하자.<ref name="CGP">{{저널 인용|제목=Mathematical general relativity: a sampler|이름1=Piotr T.|성1=Chruściel|이름2=Gregory J.|성2=Galloway|이름3=Daniel|성3=Pollack|arxiv=1004.1016|bibcode=2010arXiv1004.1016C|mr=2721040|zbl=1205.83002|doi=10.1090/S0273-0979-2010-01304-5|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=47|호=4|날짜=2010-10|쪽=567–638|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>{{rp|(3.11)}} 이는
:<math>\nabla_iX_j=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}</math>
이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은
:<math>\{(t,x)\in\mathbb R^2\colon x=\pm t\}</math>
인데, 이는 <math>x=t=0</math>에서 매끄럽지 않다.

== 역사 ==
[[빌헬름 킬링]]이 1892년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|저자링크=빌헬름 킬링|제목=Ueber die Grundlagen der Geometrie|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=109|날짜=1892|쪽=121–186|doi=10.1515/crll.1892.109.121|issn=0075-4102|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002161974|jfm=24.0496.02|언어=de}}</ref>{{rp|167, §10}}

킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트({{llang|en|Luther Pfahler Eisenhart}}, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"({{llang|en|equations of Killing}})이라고 지칭하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Riemannian geometry|이름=Luther Pfahler|성=Eisenhart|날짜=1926|출판사=Princeton University Press|url=https://archive.org/details/RiemannianGeometry|jfm=52.0721.01|언어=en}}</ref>{{rp|234, (70.2)}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[킬링 형식]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Killing vector}}
* {{매스월드|id=KillingVectors|title=Killing vectors}}
* {{nlab|id=Killing vector field}}
* {{nlab|id=Killing spinor}}
* {{nlab|id=Killing tensor}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/251458/who-first-introduced-the-notion-of-killing-vector-field|제목=
Who first introduced the notion of Killing vector field?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]