킨친 상수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
아래는 '''킨친 상수'''(Khinchin constant)에 대한 설명이다.

[[정수론|수 이론]]에서 [[알렉산드르 야코블레비치 킨친]](Aleksandr Yakovlevich Khinchin) 은 거의 모든 실수 <math>x</math>에 대해 <math>x</math> 의 연속적인 분수([[연분수]]) 확장의 계수 <math>a_n</math> 의 <math>a_i</math>(부분적인 몫)이 <math>x</math> 의 값과 무관하게 킨친(Khinchin)의 상수로 알려진 기하 평균을 가지고 있음을 증명했다.
<!--  모든 실수 <math>x</math>에 대해 <math>x</math> 의 연속적인 분수([[연분수]]) 확장의 계수 <math>a_n</math>는 <math>x</math> 의 값과 무관하게 킨친(Khinchin)의 상수로 알려진 (한정지을수있는 약한) (조작이 가능한)  (제어된) 기하 평균을 가지고 있음을 증명했다.
기하 평균이 존재하며 이것에  접근하는 생성함수가   정의될수있음을 증명했다.

 -->
즉,
:<math>x = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}\;</math>


:<math>\lim_{n \rightarrow \infty } \left( a_1 , a_2 ,... , a_n \right) ^{1\over n} = 
K_0</math>

킨친 상수(Khinchin constant)<ref>http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/khinchine.pdf</ref>
:<math>K = K_0 = \prod_{k=1}^\infty {\left( 1+{1\over k(k+2)}\right)}^{\log_2 k}  \approx 2.6854520010\dots  (OEIS A002210) </math>


거의 모든 숫자가 이러한 특성을 만족하지만, 목적을 위해 구체적으로 구성 되지 않은 실수에 대해서는 입증되지 않은 경우도 있다.

연속적인 분수 확장이  이 속성을 갖지 않는 것으로 알려진 <math>x</math>는 유리수 , 2차방정식의 근 (정수의 제곱근 과 황금비 <math>\phi</math>포함) 및 자연 로그 <math>e</math>의 밑수인  상수 [[자연로그의 밑|<math>e</math>]]이다.

"Khinchin"은 때때로 오래된 수학 문헌에서 "Khintchine" (러시아어 Хинчин의 프랑스어 음역)으로 표기된다.


==킨친 상수의 관련 표현==
:<math>K = \prod_{k=1}^\infty {\left( 1+{1\over k^2+2k}\right)}^{\log_2 k}= \prod_{k=1}^\infty k^{\log_{2}^{}\left( 1+{1\over k^2+2k}\right) }</math>
:<math>K = \prod_{k=1}^\infty {\left( 1+{1\over k(k+2)}\right)}^{\log_2 k}  =  \prod_{k=1}^\infty {\left( 1+{1\over k(k+2)}\right)}^{{ln k}\over{ln 2}} </math>
:<math>K = {{1}\over{\log (2)}} \sum_{s=1}^\infty {{\zeta (2s)-1}\over{s}} \sum_{k=1}^{2s-1} {{-1^{(k+1)}}\over{k}}
</math>
:<math>K = exp \left( {{1}\over{ln 2}} \sum_{k=1}^{\infty} {{H^{'}_{2k-1}(\zeta (2k)-1)}\over{k}} \right)
</math>
:<math>H</math>는 [[조화수]], <math>\zeta</math> [[리만 제타 함수]]

==리만 제타 함수와의 관계==
:<math>\log (K_0) = {{1}\over{\log (2)}} \sum_{s=1}^\infty {{\zeta (2s)-1}\over{s}} \sum_{k=1}^{2s-1} {{-1^{(k+1)}}\over{k}}
</math>
:<math>\log (K_0) {\log (2)}=  \sum_{s=1}^\infty {{\zeta (2s)-1}\over{s}} \sum_{k=1}^{2s-1} {{-1^{(k+1)}}\over{k}} </math>
:<math>\log (K_0) {\log (2)}=  \sum_{s=1}^\infty {{\zeta (2s)-1}\over{s}} \left( {1\over1}-{1\over2}+{1\over3}-\cdots+{1\over(2s-1)} \right) </math>

==양이 아닌 정수의 값==
:<math>K_p=\left[\sum_{k=1}^\infty -k^p \log_2\left( 1- {{1}\over{(k+1)^2}} \right) \right]^{1\over p}</math>
:<math> \;\;\; =\left[{{1}\over{ln 2}} \sum_{k=1}^{\infty} k^p ln \left( 1+ {{1}\over{k(k+2)}} \right) \right]^{1\over p}</math>


:<math>K_{-1}=1.74540566240\dots (OEIS A087491)</math>
:<math>K_{-2}=1.45034032849563 \dots (OEIS A087492)</math>

:<math>K_{-3}=1.3135070786879 \dots (OEIS A087493)</math>

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]
* [[레비 상수]]
* [[뤼로스 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}

==참고==
{{위키공용분류|Khinchin's constant}}
* [http://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html 매스월드]
* [http://www.plouffe.fr/simon/constants/khintchine.txt 110,000 digits of Khinchin's constant]
* [https://web.archive.org/web/20081101100001/http://mpmath.googlecode.com/svn/data/khinchin.txt 10,000 digits of Khinchin's constant]

[[분류:특수 함수]]
[[분류:수학 상수]]