클리퍼드 다발 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''클리퍼드 다발'''(Clifford다발, {{llang|en|Clifford bundle}})은 각 올이 [[클리퍼드 대수]]의 구조를 갖는 [[벡터 다발]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow X</math>이 주어졌다고 하자. 또한, 대칭 다발
:<math>\operatorname{Sym}^2E^*</math>
의 연속 단면
:<math>Q\in\Gamma^0(\operatorname{Sym}^2E)</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 <math>x\in X</math>에 대하여, [[벡터 공간]] <math>E_x</math>와 [[이차 형식]] <math>Q_x</math>로부터 실수 [[클리퍼드 대수]] <math>\operatorname{Cl}(E_x,Q_x)</math>를 정의할 수 있다. 이를 올로 하는, <math>X</math> 위의 [[벡터 다발]]
:<math>\operatorname{Cl}(E,Q)=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Cl}(E_x,Q_x)</math>
을 자연스럽게 정의할 수 있으며, 이를 '''클리퍼드 다발'''이라고 한다.

만약 [[미분기하학]]을 전개하려면, <math>X</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며, <math>E</math>가 [[매끄러운 벡터 다발]]이며, <math>Q</math>가 [[매끄러운 단면]]인 경우를 생각하여 '''매끄러운 클리퍼드 다발'''을 정의할 수 있다.

=== 클리퍼드 다발 접속 ===
매끄러운 클리퍼드 다발 <math>C</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>가 다음과 같은 [[곱 규칙]]을 만족시킨다면, '''클리퍼드 다발 접속'''이라고 한다.
:<math>\nabla_X(ab)=a\nabla_Xb+(\nabla_Xa)b</math>
즉, 코쥘 접속이 클리퍼드 대수의 연산과 호환되어야 한다.

== 예 ==
=== 리만 다양체 ===
[[준 리만 다양체]] <Math>(M,g)</math>가 주어졌을 때, 그 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>의 올 위에는 자연스러운 [[이차 형식]] <math>g</math>이 존재하며, 마찬가지로 [[공변접다발]] <math>\mathrm T_xM</math>의 올 위에는 이차 형식 <math>g^{-1}</math>가 존재한다. 이에 따라, 클리퍼드 다발
:<math>\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)</math>
과
:<math>\operatorname{Cl}(\mathrm T^*M,g^{-1})</math>
를 정의할 수 있다.<ref>{{서적 인용|이름=N.|성=Berline|이름2=E.|성2=Getzler|이름3= M.|성3=Vergne|제목=Heat kernels and Dirac operators|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권= 298|출판사=Springer-Verlag|날짜=1992|언어=en}}</ref>{{rp|113, Definition 3.30}} 리만 계량에 따라 사실 표준적인 벡터 다발 동형
:<math>g^\flat\colon\mathrm TM\to\mathrm T^*M</math>
이 존재하므로, 이 두 클리퍼드 다발은 사실 동형이다.

이는 [[직교군]]의 클리퍼드 대수 위의 [[군의 표현|표현]]을 통해, [[직교 틀다발]] <math>\mathrm F_{\operatorname O}M</math>의 [[연관 벡터 다발]]로도 구성될 수 있다.

이 경우, [[레비치비타 접속]]을 <math>\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)</math> 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 대수 구조와 호환된다. 만약 <math>(M,g)</math> 위에 [[스핀 구조]] 또는 [[스핀C 구조]]가 주어졌을 때, [[스피너 다발]] <math>\mathrm SM</math>은 그 위의 [[클리퍼드 가군 다발]]을 이룬다.

=== 일반화 기하학 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 임의의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>E \oplus E^*</math> 위에는 자연스러운 이차 형식
:<math>Q(x,\xi) = \xi(x)</math>
이 주어지며, 이에 따라 [[클리퍼드 다발]] <math>\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)</math>을 정의할 수 있다.

이 경우, <math>\textstyle\bigwedge E^*</math>은 <math>\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)</math> 위의 [[클리퍼드 가군 다발]]을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[스피너]]
* [[스핀 다양체]]
* [[클리퍼드 가군 다발]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Clifford bundle}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:벡터 다발]]
[[분류:클리퍼드 대수]]