크리핑 유동 문서 원본 보기

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'''크리핑 유동'''은 '''<nowiki/>'Stokes 유동'<nowiki/>''' 또는 '''<nowiki/>'저 Reynolds 수 유동''''이라고 부르기도 한다.

즉, 이러한 유동은 [[레이놀즈 수]]가 매우 작다'''(Re≪1)'''. 

다시말해, [[레이놀즈 수]]의 정의, <math>Re={\rho VL \over \mu}</math>로부터 <math>\rho , V,L</math> 이 작거나 점성이 매우 큰 경우(또는 이러한 조건의 조합)가 이에 해당한다.

== 크리핑 유동의 예시 ==
[[파일:Micro virus.png|섬네일|배양된 인간 세포에 침입하는 Salmonella typhimurium]]
우리 주위 또는 우리 몸속에서 미생물의 주위 유동이 이에 대한 예시가 될 수 있다.

[[미생물]]은 일생을 크리핑 유동 영역에서만 살게 되는데, 이는 이들의 크기가 수 미크론(<math>1\mu m=10^{-6}m</math>)으로 매우 작으며, 

결코 점성이 크다고 볼 수 없는 공기나 물에서(상온에서 <math>\mu_{air}\cong1.8\times10^{-5} N\cdot s/m^2
</math> 와 <math>\mu_{water}\cong1.0\times10^{-3} N\cdot s/m^2</math>) 느리게 움직이기 때문이다. 

그림에 나타난 박테리아의 몸길이는 고작 1m이며, 몸 뒤에 있는 길이가 수 미크론인 편모를 이용하여 몸을 움직인다. 

이러한 운동에 대한 Reynolds 수는 1보다 훨씬 작다.

또한, 크리핑 유동은 윤활 베어링의 아주 작은 틈 사이의 [[윤활유]] 유동에서도 나타난다. 

이 경우 속도는 그렇게 작지는 않지만 그 틈이 매우 작고(수십 미크론의 차수로), 점도도 비교적 크기 때문이다(상온에서 <math>\mu\sim1N\cdot s/m^2</math>).

== Navier-Stokes 방정식의 근사화 ==
크리핑 유동에서 무차원화된 [[나비에-스토크스 방정식|나비에 스토크스 방정식]]을 근사법을 통해 정의할 수 있다.

'''무차원화된 Navier-Stokes 방정식 :'''   <math>[St]{\partial \vec{V^*}\over \partial t^*}+(\vec{V^*}\cdot\vec{\nabla^*})\vec{V^*}=-[Eu]\vec{\nabla^*}P^*+[{1\over Fr^2}]\vec{g^*}+[{1\over Re}]\nabla^{*2}\vec{V^*}</math>

먼저, 단순화를 위하여 중력효과는 무시하거나 오직 정수압 요소로 작용하는 경우를 가정한다. 

또한 Strouhal 수의 크기가 1(St~1) 또는 그 이하로서, 비정상 [[가속도]] 항인 <math>[St]{\partial \vec{V^*}\over \partial t^*}</math>의 크기 차수가 점성항인 <math>[{1\over Re}]\nabla^{*2}\vec{V^*}</math>의 크기 차수보다 작으므로(Reynolds 수는 매우 작다) 정상 유동 또는 진동 유동 중의 하나로 가정한다.

무차원화된 방정식에서 대류항의 크기 차수는 1이기 때문에 <math>(\vec{V^*}\cdot\vec{\nabla^*})\vec{V^*}</math>~ 1 또한 사라지게 된다. 

그 결과 식 좌변의 모든 항을 무시할 수 있으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

'''크리핑 유동 근사화 :'''   <math>[Eu]\vec{\nabla^*}P^*\cong</math> <math>[{1\over Re}]\nabla^{*2}\vec{V^*}</math>

다시 말하면, 유동에서의 [[압력]](좌변) 은 우변의 상대적으로 큰 점성력과 균형을 이룰 정도로 커야 한다. 

그러나, 근사화된 식의 무차원 변수의 차수가 1이기 때문에 두 항이 균형을 이룰 수 있는 유일한 방법은 Eu가 1/Re 와 같은 차수를 가질 때이다.

이를 식으로 나타내면 다음과 같다.         <math>[Eu]={P_0-P_\infty\over \rho V^2}\sim[{1\over Re}]= {\mu \over \rho VL}</math>

위 식을 정리하면 다음이 얻어진다.

'''크리핑 유동에서의 압력의 크기 :'''   <math>P_0 - P_\infty \sim {\mu V\over L}</math>

이를 참조하여, 크리핑 유동에 대한 두 가지 사실을 도출하였다.

첫째로, 압력차의 척도가 <math>\rho V^2</math>와 같은(즉 Bernoulli 방정식) 관성이 지배적인 유동이 아니라,

크리핑 유동은 점성력이 지배적인 유동이기 때문에 압력차의 척도는 <math>{\mu V\over L}</math>와 같다. 

이로써 Navier-Stokes 방정식의 모든 관성항은 크리핑 유동에서 사라진다. 

두 번째로, 밀도는 Navier-Stokes 방정식에서 매개변수로서 완전 빠져버리게 된다.

이는 크리핑 유동장에서 근사화된 무차원식을 차원이 있는 형태로 나타내면 더욱 정확히 알 수 있다.

'''크리핑 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식의 근사화 :'''   <math>\vec{\nabla}P \cong \mu \nabla ^2 \vec{V}</math>

밀도는 Reynolds 수를 계산하기 위해서 반드시 필요하지만, 크리핑 유동처럼 Re가 매우 작다고 가정하면 위의 식에 나타난 바와 같이 밀도는 더 이상 필요하지 않다. 

또, 밀도는 정수압 계산에서는 필요하지만, 수직거리가 보통 수 밀리미터 혹은 수 마이크로미터이기 때문에 크리핑 유동에서 그 영향은 무시할 수 있다.

그 외에도 자유표면 효과가 없다면, 물리적인 압력 대신에 수정압력도 사용할 수 있다.

== 크리핑 유동에서 물체의 항력 ==
[[파일:Creeping.png|섬네일]]
위에서 정리한 바와 같이, 크리핑 유동에서 Navier-Stokes 방정식의 밀도는 사라져버리기 때문에 크리핑 유동에서의 물체에 작용하는 공기역학적 항력은 오직 속도 <math>V</math>, 물체의 어떤 특성길이 <math>L</math>, 그리고 유체의 점도 <math>\mu</math>에 대한 함수로 나하탄다. 차원해석을 통해서 <math>F_D</math>에 대한 관계식을 독립변수들의 함수로 표현하면 아래와 같다.

'''<math>F_D=constant\cdot\mu VL</math>'''

== 같이 보기 ==
* [[스토크스의 법칙]]
* [[다르시의 법칙]]
* [[층류]]

== 참조 문헌 ==
* Cengel, C. (2021). Differential analysis of fluid flow. McGrawHill, Fluid Mechanics. Hanti-Media

{{전거 통제}}

[[분류:유체동역학]]
[[분류:유체역학 방정식]]
[[분류:공기역학]]