크룰 높이 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''크룰 높이 정리'''({{llang|en|Krull’s height theorem}})는 [[뇌터 환]]에서 ''n''개의 원소로 생성된 [[아이디얼]]의 [[아이디얼의 높이|높이]]가 ''n'' 이하라는 정리이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환|가환]] [[뇌터 환]] <math>R</math>
* 자연수 <math>m,n\in\mathbb N</math> 및 <math>0\le k\le\min\{m,n\}</math>
* 임의의 <math>R</math> 성분의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>M\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
그렇다면, <math>M</math>은 <math>\textstyle\binom mk\binom nk</math>개의 <math>k\times k</math> [[소행렬식]]({{llang|en|minor}})들을 갖는다. '''크룰 높이 정리'''에 따르면, 이 소행렬식들로 생성되는 <math>R</math>-[[아이디얼]]이 <math>R</math> 전체가 아니라면, 그 [[아이디얼의 높이|높이]]는 <math>(m-k+1)(n-k+1)</math> 이하이다.

특히, <math>n=k=1</math>인 경우, <math>m</math>개의 원소로 생성되는 아이디얼 <math>(r_1,r_2,\dots,r_m)\ne R</math>의 [[아이디얼의 높이|높이]]는 <math>n</math> 이하이다.
:<math>\operatorname{ht}(r_1,\dots,r_n)\le\{0,1,\dots,n\}\qquad\left((r_1,r_2,\dots,r_m)\ne R\right)</math>
반대로, [[아이디얼의 높이|높이]]가 <math>n</math>인 [[소 아이디얼]]은 <math>n</math>개의 원소로 생성될 수 있다.

특히, 크룰 높이 정리에서 <math>m=n=k=1</math>을 취하면, [[가역원]]이 아닌 원소로 생성되는 [[주 아이디얼]]의 높이는 1 이하임을 알 수 있다.
:<math>\operatorname{ht}(r)\in\{-\infty,0,1\}\qquad(r\not\in R^\times)</math>

=== 크룰 정역의 경우 ===
크룰 높이 정리는 [[크룰 정역]]에 대하여 부분적으로 성립한다. 구체적으로, [[크룰 정역]]의 모든 [[진 아이디얼]]인 [[주 아이디얼]]의 높이는 0 또는 1이다. (그러나 [[뇌터 환]]이 아닌 [[크룰 정역]]의 경우, 이는 2개 이상의 원소로 생성되는 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)<ref>{{저널 인용|제목=On the generalized principal ideal theorem and Krull domains|이름=David F.|성1=Anderson|이름2=David E.|성2=Dobbs|이름3=Paul M.|성3=Eakin|이름4=William J.|성4=Heinzer|저널=Pacific Journal of Mathematics|권=146|호=2|날짜=1990|쪽=201–215|zbl=0746.13007|mr=1078378|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102645153|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[볼프강 크룰]]이 1928년에 <math>m=n=k=1</math>인 경우를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|저널={{lang|de|Mathematische Zeitschrift}}|날짜=1928-12-01|권=28|호=1|쪽=481–503
|제목={{lang|de|Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen}}
|이름=Wolfgang|성=Krull|저자링크=볼프강 크룰
|언어=de
|doi=10.1007/BF01181179}}</ref>

1961년에 존 얼론조 이건({{llang|en|John Alonzo Eagon}})이 이를 소행렬식에 대하여 일반화하였다.<ref>{{서적 인용|성=Eagon|이름=John Alonzo|제목=Ideals generated by the subdeterminants of a matrix|기타=박사 학위 논문|출판사=[[시카고 대학교]]|날짜=1961|언어=en}}</ref>

==참고 문헌==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Matsumura | first=Hideyuki | title=Commutative Algebra | url=https://archive.org/details/commutativealgeb0000mats | publisher=Addison Wesley Longman | location=New York | 날짜=1970|isbn=978-0805370256 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Height of an ideal}}
* {{매스월드|id=KrullsPrincipalIdealTheorem|title=Krull's principal ideal theorem}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Krull's_principal_ideal_theorem|제목=Krull's principal ideal theorem|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Krull's_height_theorem|제목=Krull's height theorem|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Determinantal_ideal_theorem|제목=Determinantal ideal theorem|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Ring_satisfying_PIT|제목=Rings satisfying PIT|웹사이트=Commalg|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:아이디얼]]
[[분류:대수학 정리]]