크로네커 정리 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''크로네커 정리'''({{llang|de|Satz von Kronecker}}) 또는 '''체 이론의 기본 정리'''(The fundamental theorem of field theory)란 [[다항식환]]에 대한 정리이다.

== 정의 ==
체 <math>F</math> 위의 [[다항식환]] <math>F[x]</math>의 원소 <math>f(x)\in F[x]</math>가 주어졌다고 하고, <math>f(x)</math>는 상수가 아니라고 하자. '''크로네커 정리'''에 따르면, <math>f(x)</math>가 영점을 갖는 <math>F</math>의 [[체의 확대|확대체]] <math>K/F</math>가 항상 존재한다. 즉, 자연스러운 포함 준동형 <math>\iota\colon F[x]\hookrightarrow K[x]</math>에 대하여,
:<math>\iota(f(x))(a)=0</math>
인 <math>a\in K</math>가 존재한다.

== 증명 ==
이러한 확대체 <math>K</math>는 구체적으로 다음과 같다. <math>F</math>가 체이면, <math>f(x)</math>는 <math>F</math>상에서 [[기약수|기약]]인 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 이를,
:<math>f(x)=P_1(x)P_2(x)...P_n(x)</math>
로 쓴다. 이들 중 임의로 하나를 뽑아서 <math>P_i(x)=a_0+a_1x+...+a_mx</math>이라 하자.
그러면, <math>F[x]</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로 이 위에서 <math>P_i(x)</math>에 의한 [[주 아이디얼]] <math>\langle P_i(x) \rangle</math>는 [[극대 아이디얼]]이 된다. 이제 새로운 체를
:<math>K=F[x]/\langle P_i(x) \rangle</math>
로 유도하면, <math>F</math>로부터 <math>K</math>로 가는 함수 <math>g(a)</math>를 다음과 같이 잡았을 때,
:<math>g(a)=a+\langle P_i(x) \rangle</math>
<math>g(a)</math>가 [[단사 함수]]인 [[환 준동형]]이 되는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이 <math>K</math>가 바로 구하려던 확대체이다.

실제로, [[대입함수]]를 구성해서 <math>P_i(x)</math>가 해를 가짐을 보일 수 있다. <math>F[x]</math>에서 <math>K</math>로의 대입함수 <math>h_A</math>를 다음과 같이 구성하면;
:<math>A=x+\langle P_i(x)\rangle</math>에 대하여, <math>h_A</math>
이 대입함수에 <math>P_i(x)</math>를 넣었을 때 <math>A</math>가 영점이 됨을 알 수 있다. 따라서 이것은 <math>f(x)</math>의 영점 역시 된다.

== 따름정리 ==
크로네커 정리를 통해 바로 다음 따름정리가 유도된다:
*체 <math>F</math>에 의해 생성된 <math>F[x]</math>상의 n차 다항식 <math>f(x)</math>을 <math>f(x)=a(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)...(x-c_n)</math> 꼴로 인수분해할 수 있는 확대체 <math>K</math>가 항상 존재한다.
이 따름정리는 [[수학적 귀납법|귀납법]]으로 쉽게 증명할 수 있다. 이것은 크로네커 정리의 일반화된 형태인데, 이것을 크로네커 정리 자체로 보기도 한다.

이 정리의 간단한 응용으로, 실계수의 임의 n차 다항식 <math>f(x)</math>에 대하여 이 다항식이 반드시 n개의 영점(중근 포함)을 갖도록 하는 [[실수]] 집합 <math>\mathbb{R}</math>의 확대체 <math>K</math>가 존재함을 알 수 있다. 실제로 [[대수학의 기본정리]]에 의하면, 이 확대체 중 하나는 [[복소수]] 집합 <math>\mathbb{C}</math>가 된다. 또 대수학의 기본정리와 크로네커 정리를 결합하면, 복소수의 모든 원소는 <math>\mathbb{C}</math> 상에서 대수적이며 임의의 복소계수다항식이 차수만큼의 영점을 갖는 최소의 확대체는 <math>\mathbb{C}</math> 자신이다. 따라서 <math>\mathbb{C}</math>에 포함되는 모든 체의 [[대수적 폐포]]는 <math>\mathbb{C}</math>임을 알 수 있다.

== 역사 ==
[[독일]]의 수학자 [[레오폴트 크로네커]]가 발표하였다. 크로네커는 이 정리를 통해 임의의 [[체 (수학)|체]]에 대한 [[분해체]]의 존재성을 구성적 기법으로 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[체 (수학)|체]]
* [[분해체]]
* [[확대체]]
* [[다항식환]]

== 참고 문헌 ==
*김주필, 『알기 쉬운 대수학』, 도서출판 대선, 2002

[[분류:다항식]]
[[분류:대수학 정리]]