크로네커 곱 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''크로네커 곱'''({{llang|en|Kronecker product}})은 두 행렬의 텐서곱을 구체적으로 표현하는 행렬이다. ''m''×''n'' 행렬과 ''p''×''q'' 행렬의 크로네커 곱은 크기 ''mp''×''nq''의 더 큰 행렬이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math>과 <math>p\times q</math> 행렬 <math>N</math>이 주어졌다고 하자.
:<math>M=\begin{pmatrix}
M_{11}&\dotsm&M_{1n}\\
\vdots && \vdots \\
M_{m1} & \dotsm & M_{mn}
\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
:<math>N=\begin{pmatrix}
N_{11}&\dotsm&N_{1q}\\
\vdots && \vdots \\
N_{p1} & \dotsm & N_{pq}
\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(p,q;R)</math>
그렇다면, <math>M</math>과 <math>N</math>의 '''크로네커 곱'''
:<math>M\otimes  N \in\operatorname{Mat}(mp,nq;R)</math>
은 다음과 같은 성분을 갖는 <math>mp\times nq</math> 행렬이다.
:<math>M\otimes N =\begin{pmatrix}
M_{11}N&\dotsm&M_{1n}N\\
\vdots && \vdots \\
M_{m1}N & \dotsm & M_{mn}N
\end{pmatrix}</math>
즉,
:<math>(M\otimes N)_{(a-1)p+i,(b-1)q+j} = M_{ab}N_{ij}</math>
이다.

== 성질 ==
임의의 [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 계수의 행렬들의 크로네커 곱은 다음을 만족시킨다.
:<math>1_{1\times1}\otimes A = A\otimes1_{1\times1} = A</math>
:<math>A\otimes(B+C) = A\otimes B+A\otimes C</math>
:<math>(A+B)\otimes C = A\otimes C+B\otimes C</math>
:<math>(A\otimes B)\otimes C=A\otimes(B\otimes C)</math>
:<math>(A\otimes B)^\top=A^\top\otimes B^\top</math>

만약 <math>R</math>가 추가로 [[가환환]]일 때, [[행렬식]]을 정의할 수 있으며, 다음이 성립한다.
:<math>\det(A\otimes B)=(\det A)^n(\det B)^m\qquad(A\in\operatorname{Mat}(m,m;R),\;B\in\operatorname{Mat}(n,n;R)</math>
:<math>(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)\qquad(A\in\operatorname{Mat}(m,n;R),\;B\in\operatorname{Mat}(m',n';R),\;C\in\operatorname{Mat}(n,p;R),\;D\in\operatorname{Mat}(n',p';R))</math>

== 역사 ==
[[레오폴트 크로네커]](1823~1891)의 이름을 땄다. 그러나 이름과 달리 요한 게오르크 체푸스({{llang|de|Johann Georg Zehfuss}}, 1832~1901)가 1858년에 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=H. V.|성=Jemderson|이름2=F.|성2=Pukelsheim|이름3=S. R.|성3=Searle|제목=On the history of the Kronecker product|저널=Linear and Multilinear Algebra|권=14|호=2|쪽=113–120|날짜=1983|doi=10.1080/03081088308817548|mr=713015|zbl=0517.15017|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Georg|성=Zehfuss|날짜=1858|제목=ⅩⅩⅫ. Ueber eine gewisse Determinante|저널=Zeitschrift für Mathematik und Physik|권=3|쪽=298–301|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN599415665_0003%7CLOG_0018|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[아다마르 곱]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Tensor product}}
* {{매스월드|id=KroneckerProduct|title=Kronecker product}}

[[분류:행렬]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:행렬론]]