크라메르 추측 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''크라메르 추측'''({{llang|en|Cramér’s conjecture}})은 [[소수 간극]]의 분포에 대한 가설이다.
== 정의 ==
<math>n</math>번째 [[소수 (수론)|소수]]를 <math>p_n</math>이라고 쓰자. '''크라메르 추측'''에 따르면,
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n)^2}=1</math>
이다.

== 유도 ==
크라메르 추측은 소수의 분포에 대한 '''크라메르 모형'''({{llang|en|Cramér model}})으로부터 유도된다. 크라메르 모형은 소수의 분포의 [[통계학]]적 모형이며, 이에 따르면 양의 정수 <math>n\ge3</math>이 소수일 확률은 대략
:<math>\Pr(n\in\mathbb P)=\frac1{\ln n}</math>
이다 (<math>n\le2</math>인 경우의 확률은 임의로 고를 수 있다). 또한, 각 정수가 소수인지 여부는 [[독립 (확률론)|독립]] [[확률 변수]]로 여긴다.

이에 따르면, 크기가 <math>n</math> 이하인 소수들의 수의 [[기댓값]]은 대략
:<math>\pi(n)=\sum_{k\le n}\Pr(k\in\mathbb P)=\sum_{k=2}^n\frac1{\ln k}\approx\int_2^n\frac{dk}{\ln k}=\operatorname{Li}(n)-\operatorname{Li}(2)</math>
이며, 따라서 [[소수 정리]]를 얻는다.

크라메르 모형에서, 크라메르 추측은 [[거의 확실하게|거의 확실히]] (즉, 확률 1로) 성립한다. [[앤드루 그랜빌]]({{llang|en|Andrew Granville}})은 작은 소수의 배수를 고려하여 크라메르 모형을 개량하였는데,<ref>{{저널 인용 |last=Granville |first=Andrew |title=Harald Cramér and the distribution of prime numbers |journal=Scandinavian Actuarial Journal |volume=1 |issue= |날짜=1995 |pages=12–28 |url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |doi=10.1080/03461238.1995.10413946 |zbl=0833.01018 |언어=en |access-date=2014-11-04 |archive-date=2015-09-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150923212842/http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |url-status= }}</ref> 이에 따르면
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n)^2}\gtrsim 2\exp(-\gamma)\approx1.1229</math>
이다. 여기서 <math>\gamma</math>는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.

== 부분적인 증명 ==
크라메르 추측은 현재 미해결 문제로 남아 있다. 크라메르 추측에 대한 원래 논문에서, [[하랄드 크라메르]]는 [[리만 가설]]을 가정한다면
:<math>p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)</math>
이라는 사실을 증명하였다.<ref name="Cramer1936"/> 1931년에 [[핀란드]]의 수학자 에리크 베스트쉰티우스({{llang|sv|Erik Westzynthius}})는
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty</math>
임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용 |last=Westzynthius |first=Erik |title=Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind |journal=Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors |volume=5 |날짜=1931 |pages=1–37 | zbl=0003.24601 | jfm=57.0186.02 | 언어=de}}</ref>

== 수치적 증거 ==
토머스 나이슬리({{llang|en|Thomas Nicely}})의 1999년 수치적 계산에 따르면,<ref>{{저널 인용 |last=Nicely |first=Thomas R. |doi=10.1090/S0025-5718-99-01065-0 |mr=1627813 |issue=227 |journal=Mathematics of Computation |pages=1311–1315 |title=New maximal prime gaps and first occurrences |url=http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html |volume=68 |날짜=1999 |zbl=0923.11018 |언어=en |확인날짜=2014-11-04 |보존url=https://web.archive.org/web/20141230023254/http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html |보존날짜=2014-12-30 |url-status=dead }}</ref> 매우 큰 소수들의 간극은 대략
:<math>\frac{\ln p_n}{\sqrt{p_{n+1}-p_n}}\approx1.13</math>
을 만족시킨다.

== 역사 ==
[[하랄드 크라메르]]가 1936년에 통계적 모형을 바탕으로 추측하였다.<ref name="Cramer1936">{{저널 인용 |last=Cramér |first=Harald |title=On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf |journal=Acta Arithmetica |volume=2 |날짜=1936 |pages=23–46 |zbl=0015.19702 |jfm=63.0903.03 |언어=en |확인날짜=2014-11-04 |보존url=https://web.archive.org/web/20180723035707/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf |보존날짜=2018-07-23 |url-status=dead }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[소수 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Cramér Conjecture|id=CramerConjecture}}
* {{매스월드|title=Cramér-Granville Conjecture|id=Cramer-GranvilleConjecture}}

{{소수}}

[[분류:해석적 수론]]
[[분류:소수에 관한 추측]]
[[분류:수론의 미해결 문제]]