큐-팩토리얼 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''큐-팩토리얼'''(q-factorial)은  [[포흐하머 기호|포흐하머 심볼]]와 [[큐-아날로그|큐-넘버]]가 작동하는 큐-아날로그 [[계승 (수학)|팩토리얼(계승)]]이다.
:<math>[n]_q!={{(q;q)_n}\over{(1-q)^n} } \;\;\;</math>  여기서<math>\; (q;q)_n</math>는 [[큐-포흐하머 기호]]

==계산==
:<math>\lim_{q\rightarrow 1}{{1-q^n}\over{1-q}}=n</math>

:<math>[n]_q={{1-q^n}\over{1-q}} = q^0 + q^1 + q^2 + \ldots + q^{n - 1}</math>
:<math>[n]_q={{1-q^n}\over{1-q}} = 1+ q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}</math>
:<math>[n]_q! = \prod_{k=1}^{n} [k]_q </math>
:<math>\;\;\;\; = [1]_q  \cdot [2]_q \cdot [3]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q </math>
:<math>\;\;\;\; =\left( {{1-q}\over{1-q}}\right) \cdot \left({{1-q^2}\over{1-q}}\right)\cdot \left({{1-q^3}\over{1-q}}\right) \cdots \left({{1-q^{n-1}}\over{1-q}}\right) \cdot \left({{1-q^n}\over{1-q}} \right) </math>
:<math>\;\;\; = (1) \cdot (1+q)\cdot (1+q+q^2)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}) </math>
:<math>\;\;\; ={{(q;q)_n}\over{(1-q)^n} } \;\;\;</math>
<!--In particular, one recovers the usual factorial by taking the limit as <math>q\rightarrow 1</math>.

The ''q''-factorial also has a concise definition in terms of the [[q-Pochhammer symbol|''q''-Pochhammer symbol]], a basic building-block of all ''q''-theories:
-->

==성질==
:<math>[n]_q! = \Gamma_q(n+1) = \prod_{k=1}^{n} [k]_q = [1]_q  \cdot [2]_q \cdot [3]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q  </math>
:<math>n! =  {{n!}\over{(n-k)!}} </math>
:<math> n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1)</math>
:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1)) </math>
:<math>n! = (1) \cdot (2) \cdot (3) \cdots (n-1)\cdot (n)</math>
:<math>q = 1  (q \to 1)</math>
:<math>\therefore \;\;[n]_1! = [1]_1  \cdot [2]_1 \cdot [3]_1 \cdots [n-1]_1  \cdot [n]_1 = (1) \cdot (2) \cdot (3) \cdots (n-1)\cdot (n)= n! </math>
:<math>\therefore \;\;[n]_q! =  {{[n]_q!}\over{[n-k]_q!}}  </math>
:<math>\therefore \;\;[n]_q! =  {{[n]_q!}\over{[n-n]_q!}}= {{[n]_q!}\over{[0]_q!}}  </math>
:<math>\therefore \;\; [0]_q!=  {{[n]_q!}\over{[n]_q!}}= {1}  </math>
:<math>[1]_q!=1</math>
:<math>[2]_q!=1+q</math>
:<math>[3]_q!=(1+q)(1+q+q^2)=1+2q+2q^2+q^3</math>
:<math>[4]_q!=(1+q)(1+q+q^2)(1+q+q^2+q^3)=1+3q+5q^2+6q^3+5q^4+3q^5+q^6</math>

==특수값==
*큐-이항 계수(q-binomial coefficients)
큐-팩토리얼로부터의 가우스 계수, 또는 가우스 다항식으로 알려진 가우스 이항 계수
:<math>\binom{n}{k}_q={{[n]_q!}\over{[k]_q! \; [n-k]_q! }} </math>
큐-다항계수는 다음과 같이 정의 할 수 있다.
:<math>\begin{bmatrix}n\\k_1, \ldots ,k_m\end{bmatrix}_q=\frac{[n]_q!}{[k_1]_q! \cdots [k_m]_q!}, </math>
*큐-지수 [[자연로그의 밑|<math>{\color{blue}{e}}</math>]]
:<math>e_q^x = \sum_{n=0}^\infty {{x^n}\over{[n]_q!}}</math>

*큐-<math>sine</math>
:<math>\sin_q (x)</math>
*큐-파이
:<math>\pi_q</math>
<!--
''q''-trigonometric functions, along with a ''q''-Fourier transform have been defined in this context.
-->

== 같이 보기 ==
* [[폴리감마 함수|큐-폴리감마 함수]]
* [[큐-아날로그]]
* [[초기하함수]]

[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:특수 함수]]