콤팩트 작용소 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''콤팩트 작용소'''(compact作用素, {{llang|en|compact operator}})는 [[유계 집합]]의 [[상 (수학)|상]]이 [[상대 콤팩트 집합]]인 [[바나흐 공간]] 사이의 [[선형 변환]]이다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. 두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math>와 <math>W</math> 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[유계 작용소]] <math>T\colon V\to W</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]을 '''콤팩트 작용소'''라고 한다.<ref>{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|103, Definition 4.16}}<ref>{{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael Charles |이름2=Barry Martin|성2=Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of Modern Mathematical Physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}</ref>{{rp|199, §VI.5}}
* <math>V</math> 속의 단위 [[닫힌 공]] <math>\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>T\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))</math>가 <math>W</math>의 [[상대 콤팩트 집합]]이다.
* <math>V</math> 속의 임의의 [[유계 집합]] <math>B\subseteq V</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>TB\subseteq W</math>가 <math>W</math>의 [[상대 콤팩트 집합]]이다.
* <math>V</math> 속의 임의의 [[유계 집합]] <math>B\subseteq V</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>TB\subseteq W</math>가 <math>W</math>의 [[완전 유계 집합]]이다.

=== 힐베르트 공간의 경우 ===
만약 <math>V</math>와 <math>W</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]이라면, 그 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <Math>T\colon V\to W</math>에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 콤팩트 작용소이다.
* [[치역]]이 유한 차원 공간인 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]들의 집합을 <math>\operatorname{FR}(V,W;\mathbb K)\subseteq\operatorname B(V,W;\mathbb K)</math>라고 할 때, <math>\operatorname{FR}(V,W;\mathbb K)</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]에 속한다. (여기서 <math>\operatorname B(V,W;\mathbb K)</math>는 [[유계 작용소]]의 공간이며, 폐포는 [[작용소 노름]]으로 정의된 [[거리 위상]]에서 취한 것이다.)
* 다음과 같은 꼴의 표현을 갖는다.
*:<math>T=\sum_{0\le i<N}w_is_i\langle v_i,-\rangle</math>
여기서
* <math>N\in\{0,1,2,\dotsc,\infty\}</math>이다.
* <math>(s_i)_{0\le i<N}</math>는 감소하는 양의 실수열이다. 즉, <math>s_1\ge s_2\ge s_3\ge\cdots</math>이며, 임의의 <Math>0\le i<N</math>에 대하여 <math>s_i>0</math>이다.
* <math>(v_i)_{0\le i<N}</math>는 <math>V</math> 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 <math>0\le i\le j<N</math>에 대하여 <math>\langle v_i,v_j\rangle_V=\delta_{ij}</math>이다 (<math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]).
* <math>(w_i)_{0\le i<N}</math>는 <math>W</math> 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 <math>0\le i\le j<N</math>에 대하여 <math>\langle w_i,w_j\rangle_W=\delta_{ij}</math>이다 (<math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]).
이러한 표현을 <math>T</math>의 '''[[특잇값 분해]]'''라고 한다.

== 성질 ==
=== 포함 관계 ===
모든 콤팩트 작용소는 [[유계 작용소]]이다.

두 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] 사이의 경우, 두 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[선형 변환]] ⊇ [[유계 작용소]] ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ [[힐베르트-슈미트 작용소]] ⊇ [[대각합류 작용소]]
또한, 임의의 <math>0<p<\infty</math>에 대하여,  두 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] 사이의 <Math>p</math>차 [[핵작용소]]는 콤팩트 작용소이다. (1차 핵작용소는 [[대각합류 작용소]]이며, 2차 핵작용소는 [[힐베르트-슈미트 작용소]]이다.)

=== 스펙트럼 이론 ===
복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소의 경우, 다음과 같은 매우 깔끔한 스펙트럼 이론이 존재한다.

임의의 복소수 바나흐 공간 <math>V</math> 위의 복소수 콤팩트 작용소
:<math>T\colon V\to V</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]] <math>\sigma(T)\subseteq\mathbb C</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* ('''프레드홀름 양도 논법''' Fredholm 兩刀論法, {{llang|en|Fredholm alternative}}) 스펙트럼의 모든 0이 아닌 원소는 [[고윳값]]이다. 즉, 임의의 <math>\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}</math>는 <math>T</math>의 [[고윳값]]이다.<ref name="Conway">{{서적 인용|first=John B.|last=Conway|title=A course in functional analysis|publisher=Springer|date=1990|판=2판|isbn= 978-0-387-97245-9|url=https://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-97245-9|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=96|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|Corollary VII.7.10}}
* 만약 <math>V</math>가 무한 차원 바나흐 공간이라면, 항상 <math>0\in\sigma(T)</math>이다.
*  스펙트럼의 임의의 0이 아닌 원소 <math>\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}</math> 및 충분히 큰 양의 정수 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>\ker(\lambda-T)^m=\ker(\lambda-T)^{m+1}</math>이며, 또한 이 부분 벡터 공간은 유한 차원이다.
* <math>T</math>의 [[고윳값]]들의 집합의 <math>\aleph_0</math>-[[집적점]]은 (만약 존재한다면) <math>0\in\mathbb C</math> 밖에 없다.
* <math>\sigma(T)\subseteq\mathbb C</math>는 [[가산 집합]]이다.

위 성질 가운데 "프레드홀름 양도 논법"이라는 이름은 이를 다음과 같이 적을 수 있기 때문이다.
:임의의 0이 아닌 복소수 <math>\lambda\in\mathbb C\setminus\{0\}</math>에 대하여, 다음 둘 ("양도") 가운데 정확히 하나가 성립한다.
:* [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]에 속하지 않는다.
:* [[고윳값]]이다.

== 역사 ==
프레드홀름 양도 논법은 [[에리크 이바르 프레드홀름]]이 원래 [[적분 변환]] 연산자에 대하여 1903년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|first=E. I. |last=Fredholm |저자링크=에리크 이바르 프레드홀름 | title=Sur une classe d’equations fonctionnelles |journal=Acta Mathematica |volume=27 |날짜=1903 |pages=365–390 |doi=10.1007/bf02421317|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Compact operator}}
* {{매스월드|id=CompactOperator|title=Compact operator}}
* {{매스월드|id=FredholmAlternative|title=Fredholm alternative}}
* {{nlab|id=compact operator|title=Compact operator}}
* {{nlab|id=compact self-adjoint operator|title=Compact self-adjoint operator}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수해석학]]