콤팩트 생성 공간 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''콤팩트 생성 공간'''(compact生成空間, {{llang|en|compactly generated space}}) 또는 '''k-공간'''({{llang|en|k-space}})은 [[연속 함수]]들의 공간이 항상 잘 정의되는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 [[범주 (수학)|범주]]는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이룬다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''k-연속 함수'''라고 하자.
* 임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>K</math> 및 [[연속 함수]] <math>t\colon K\to X</math>에 대하여, <math>f\circ t\colon K\to Y</math>는 [[연속 함수]]이다.

위상 공간 <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>A</math>가 다음 조건을 만족시키면 '''k-닫힌집합'''이라고 하자.
* 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 <math>K</math> 및 [[연속 함수]] <math>t\colon K\to X</math>에 대하여, <math>t^{-1}(A)</math>는 [[닫힌집합]]이다.

모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다.

위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 네 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 공간을 '''콤팩트 생성 공간'''이라고 한다.<ref name="Brown">{{서적 인용|이름=Ronald|성=Brown|제목=Topology and groupoids|url=http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html|isbn=1-4196-2722-8|날짜=2006-03|출판사=Booksurge|lccn=2006901092|언어=en}}</ref>{{rp|182, Prop. 5.9.1}}<ref>{{서적 인용 |last= May |first=J. Peter|title=A concise course in algebraic topology |날짜=1999-09 |publisher=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|위치= Chicago |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|언어=en|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-02-2651-183-2}}</ref>{{rp|39}}
* <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 <math>Y</math> 및 k-연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>f</math>는 연속 함수이다.
* <math>X</math>의 모든 k-닫힌집합은 [[닫힌집합]]이다.
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]들의 [[분리합집합]]의 [[몫공간]]이다. 즉, <math>X\cong\left(\bigsqcup_{i\in I}K_i\right)/{\sim}</math>인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 <math>\{K_i\}_{i\in I}</math> 및 <math>\bigsqcup_{i\in I}K_i</math> 위의 [[동치 관계]] <math>\sim</math>가 존재한다.
* 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 <math>\{K_i\}_{i\in I}</math> 및 [[함수]]들의 집합 <math>\{f_i\colon K_i\to X\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
** 임의의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>A</math>가 [[닫힌집합]]일 [[필요충분조건]]은 모든 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>f_i^{-1}(A)\subseteq K_i</math>가 [[닫힌집합]]인 것이다.
* <math>X</math>는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 [[몫공간]]이다.

콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 <math>\operatorname{CGTop}</math>라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 <math>\operatorname{Top}</math>라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 <math>\operatorname{Top_k}</math>라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:<math>\operatorname{CGTop}\to\operatorname{Top}\to\operatorname{Top_k}</math>
이를 합성하여 얻는 함자 <math>\operatorname{CGTop}\to \operatorname{Top_k}</math>는 [[범주의 동치]]를 이룬다.

== 성질 ==
모든 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]은 콤팩트 생성 공간이다.<ref name="Brown"/>{{rp|183, 5.9.2a}}<ref name="Kelley"/>{{rp|231, Theorem 7.13}} 모든 [[제1 가산 공간]]은 콤팩트 생성 공간이다.<ref name="Brown"/>{{rp|183, 5.9.2b}}<ref name="Kelley"/>{{rp|231, Theorem 7.13}}<ref>http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/GaunceApp.pdf</ref> 모든 [[CW 복합체]]는 콤팩트 생성 공간이다.<ref name="Brown"/>{{rp|139, Exercise 4.7.10}}

=== 콤팩트 생성 공간의 범주론적 연산 ===
포함 관계
:<math>\operatorname{CGTop}\to\operatorname{Top}</math>
에 따라, <math>\operatorname{CGTop}</math>는 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[반사 부분 범주]]를 이루며, 그 수반
:<math>k\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CGTop}</math>
을 '''콤팩트 생성화'''({{llang|en|kaonization}})라고 한다. 위상 공간 <math>X</math>의 콤팩트 생성화 <math>k(X)</math>는 집합으로서 <math>X</math>와 같지만 <math>X</math>보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, <math>k(X)</math>의 [[닫힌집합]]은 <math>X</math>의 k-닫힌집합이다.

<math>\operatorname{CGTop}</math>는 (<math>\operatorname{Top}</math>와 마찬가지로) [[완비 범주]]이며 [[쌍대완비 범주]]이다. <math>\operatorname{CGTop}</math>에서의 [[쌍대극한]]은 <math>\operatorname{Top}</math>와 같으며, <math>\operatorname{CGTop}</math>에서의 [[극한 (범주론)|극한]]은 <math>\operatorname{Top}</math>에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, <math>\operatorname{CGTop}</math>에서의 [[곱 (범주론)|곱]]은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) [[곱공간]]과 다르다.
:<math>X\times_{\operatorname{CGTop}}Y=k(X\times_{\operatorname{Top}}Y)</math>

<math>\operatorname{CGTop}</math>는 (<math>\operatorname{Top}</math>와 달리) [[데카르트 닫힌 범주]]이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의  (k-)[[연속 함수]]들의 집합 <math>\mathcal C(X,Y)</math>에 다음과 같은 [[부분 기저]]로 정의되는 위상을 부여하자.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq Y</math> 및 콤팩트 하우스도르프 공간 <math>K</math> 및 [[연속 함수]] <math>t\colon K\to X</math>에 대하여, <math>\{f\in K(X,Y)\colon f\circ t(K)\subseteq U\}</math>.
만약 <math>X</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라면, 이는 [[콤팩트-열린집합 위상]]과 같다. 그렇다면, <math>\operatorname{CGTop}</math>에서의 [[지수 대상]] <math>Y^X</math>는 <math>\mathcal C(X,Y)</math>의 콤팩트 생성화이다.
:<math>(Y^X)_{\operatorname{CGTop}}=k(\mathcal C(X,Y))</math>

=== 콤팩트 생성 하우스도르프 공간 ===
위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CGHaus}</math> 및 콤팩트 생성 [[약한 하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CGWH}</math>를 정의할 수 있다. 이들 역시 [[완비 범주]]이자 [[쌍대완비 범주]]이자 [[데카르트 닫힌 범주]]이다.

== 역사 ==
이 개념은 원리 [[비톨트 후레비치]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=David|성=Gale|제목=Compact Sets of Functions and Function Rings|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=1|날짜=1950|쪽=303–308|jstor=2032373|언어=en}}</ref> 이후 로널드 브라운({{llang|en|Ronald Brown}})이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 [[데카르트 닫힌 범주]]임을 증명하였다.<ref name="Brown"/>{{rp|199}}<ref>{{서적 인용|성=Brown|이름=R.|제목=Function spaces and FD-complexes|기타=박사 학위 논문|출판사=[[옥스퍼드 대학교]]|날짜=1961|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Brown|이름=R.|제목=Ten topologies for <math>X\times Y</math>|저널=Quarterly Journal of Mathematics|권=14|호=2|날짜=1963|쪽=303–319|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Brown|이름= R.|제목=Function spaces and product topologies|저널=Quarterly Journal of Mathematics|권=15|호=2|날짜=1964|쪽=238–250|언어=en}}</ref> 이후 1967년에 [[노먼 스틴로드]]는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 [[대수적 위상수학]]을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Norman E.|성=Steenrod|저자링크=노먼 스틴로드|제목=A convenient category of topological spaces|저널=The Michigan Mathematical Journal|권=14|날짜=1967|쪽=133–152|doi=10.1307/mmj/1028999711|mr=0210075|zbl=0145.43002|언어=en}}</ref>

== 예 ==
흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다.

[[비가산]] [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa\ge\aleph_1</math>에 대하여,  실수선의 비가산 무한 [[곱공간]] <math>\mathbb R^\kappa</math>는 콤팩트 생성 공간이 아니다.<ref name="Brown"/>{{rp|184}}<ref name="Kelley">{{서적 인용|이름=John L.|성=Kelley|저자링크=존 리로이 켈리|제목=General topology|url=https://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-90125-1|isbn=0-387-90125-6|판=2|날짜=1975|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=27|언어=en|출판사=Springer|zbl=0306.54002}}</ref>{{rp|240, Exercise 7J(b)}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=compactly generated space|title=Compactly generated space}}
* {{nlab|id=convenient category of topological spaces|title=Convenient category of topological spaces}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Compactly_generated_space|제목=Compactly generated space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Compactly_generated_Hausdorff_space|제목=Compactly generated Hausdorff space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://neil-strickland.staff.shef.ac.uk/courses/homotopy/cgwh.pdf|제목=The category of CGWH spaces|이름=N. P.|성=Strickland|날짜=2009-08-19|언어=en|확인날짜=2015-06-16|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303174529/http://neil-strickland.staff.shef.ac.uk/courses/homotopy/cgwh.pdf|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/47702/why-the-w-in-cgwh-compactly-generated-weakly-hausdorff-spaces|제목=Why the “W” in CGWH (compactly generated weakly Hausdorff spaces)?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/85912/products-with-compactly-generated-spaces|제목=Products with compactly generated spaces|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:대수적 위상수학]]