콤팩트 리 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''콤팩트 리 군'''(compact Lie群, {{llang|en|compact Lie group}})은 [[콤팩트 공간]]인 [[리 군]]이다. 이들은 완전히 분류되었으며, 물리학이나 기타 수학 분야에 자주 등장한다. 콤팩트 리 군의 [[군 표현론]] 및 [[대수적 위상수학]]은 일반적인 [[리 군]]의 경우보다 더 간단하며, 잘 알려져 있다.

== 정의 ==
[[리 군]] <math>G</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 [[콤팩트 공간]]이다.
* 다음 조건들이 모두 성립한다.
** 유한 개의 [[연결 성분]]을 가진다.
** 그 [[실수 리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)</math>는 [[아벨 리 대수]]와 [[반단순 리 대수]]의 [[직합]]이다.
** 이러한 분해 <math>\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak a\oplus\mathfrak s</math>에서, [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak s</math>의 [[킬링 형식]]은 [[음의 정부호]]이다.
** 이러한 분해 <math>\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak a\oplus\mathfrak s</math>에서, [[아벨 리 대수]] <Math>\mathfrak a</math>의 임의의 원소 <math>x\in\mathfrak a</math>에 대한 [[리 지수 사상]] <math>\exp(\mathbb Rx)\subseteq G</math>은 [[닫힌집합]]이 아니거나 또는 [[원군]]과 [[미분 동형]]이다.

== 성질 ==
=== 대수적 성질 ===
[[복소다양체]]를 이루는 콤팩트 [[리 군]]은 항상 [[아벨 군]]이며, 이들은 [[복소수체]] 위의 [[아벨 대수다양체]]를 이룬다.

[[단일 연결]] 반단순 콤팩트 [[리 군]]의 [[기본 표현]]의 수는 그 계수(극대 아벨 부분 리 군의 차원, 또는 [[딘킨 도표]]의 꼭짓점의 수)와 같으며, 그 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다. [[단일 연결]] 조건이 생략되면, 그 [[범피복군]]의 표현 가운데 일부는 원래 군의 표현을 이루지 못할 수 있다. (예를 들어, [[스피너]]는 [[스핀 군]]의 표현을 이루지만, [[직교군]]의 표현을 이루지 못한다.) 물론, 아벨 성분의 표현론은 자명하다.

=== 해석학적 성질 ===
콤팩트 리 군 위에는 양쪽 [[하르 측도]](즉, 오른쪽 및 왼쪽 [[군의 작용]]에 대하여 불변인 [[확률 측도]])가 존재한다. (반면, 일반적 [[리 군]] 위에는 왼쪽 또는 오른쪽 하르 측도가 항상 존재하지만 양쪽 하르 측도가 존재하지 못할 수 있다.)

<math>G</math>는 왼쪽 곱셈
:<math>\mathsf L_g \colon G \to G\qquad(g\in G)</math>
:<math>\mathsf L_g\colon h\mapsto gh</math>
을 통하여 <math>G</math> 위의 [[미분 형식]]들의 공간 <math>\Omega(G)</math> 위에 [[당김 (미분기하학)|당김]]으로서 [[군의 작용|작용]]하며, 특히 <Math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]에 불변인 부분 공간 <Math>\Omega(G)^G</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, <math>G</math>-불변 미분 형식들은 [[쐐기곱]]과 [[외미분]]에 대하여 닫혀 있으며, 그 [[코호몰로지]]는 <math>G</math>의 [[드람 코호몰로지]]와 같다. 또한, <math>G</math>-불변 미분 형식들의 [[공사슬 복합체]]는 사실 <math>G</math>의 [[리 대수]] <Math>\operatorname{Lie}(G)</math>만으로 재구성될 수 있는데, 이를 '''[[리 대수 코호몰로지]]'''라고 한다. (실수체 계수의 코호몰로지이므로, <math>G</math>의 [[꼬임 부분군|꼬임]] [[기본군]]을 무시할 수 있으며, 따라서 이는 <math>G</math>의 [[리 대수]]만으로 완전히 결정된다.)

사실, 포함 사상 <math>\Omega(G)^G\hookrightarrow\Omega(G)</math>의 [[왼쪽 역사상]]인 다음과 같은 [[공사슬 사상]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{avg}_G \colon \Omega(G) \to \Omega(G)^G</math>
:<math>\operatorname{avg}_G \colon \alpha \mapsto \int_G\mathsf L^*_g\alpha\, \mathrm d\mu_G(g)</math>
(여기서 <math>\mu_G</math>는 물론 <math>G</math>의 [[하르 측도]]이며, <math>\textstyle\int_G\mathrm d\mu_G=1</math>이다.) 즉,
:<math>\operatorname{avg}_G \restriction \Omega(G)^G = \operatorname{id}_{\Omega(G)^G}</math>
이며, 이는 또한 [[외미분]]을 보존하며, 또한 이는 [[코호몰로지]]의 동형을 유도한다.

=== 위상수학적 성질 ===
==== 코호몰로지 ====
[[연결 공간|연결]] 콤팩트 리 군 <math>G</math>의 [[드람 코호몰로지]] <math>\operatorname H^\bullet(G;\mathbb R)</math>를 생각하자. 실수 [[등급 대수]]로서, 이는 유한 개의 홀수 차수의 생성원들로 생성되는 [[외대수]]이다. 또한, 생성원의 차수는 <math>G</math>의 계수(<math>\operatorname{Lie}(G)</math>의 극대 아벨 [[부분 리 대수]]의 차원)와 같다.

구체적으로, <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)</math>의 극대 아벨 [[부분 리 대수]] ([[카르탕 부분 대수]])
:<math>\mathfrak t\subseteq\mathfrak g</math>
를 고르고, 그 [[리 지수 사상]]에 대한 [[닫힌집합|닫힌]] [[아벨 군|아벨]] 부분군을 <math>T\le G</math>라고 하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 ([[반단순 리 대수|반단순]] 성분의) [[바일 군]] <math>\operatorname{Weyl}(G)</math>은 <math>\mathfrak t</math> 변수 [[실수체]] 계수 [[다항식환]]
:<math>\mathbb R[\mathfrak t]
= \mathbb R \oplus \mathfrak t^* \oplus \operatorname{Sym}^2\mathfrak t^* \oplus \dotsb</math>
위에 [[군의 작용|작용]]하며, 따라서 [[불변 다항식]]의 대수
:<math>\mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname W(\mathfrak g)}</math>
를 정의할 수 있다. 이는 항상 자유 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]이며, 그 생성원의 수는 <math>G</math>의 계수(즉, <math>\dim_{\mathbb R}\mathfrak t</math>)와 같다. <math>\mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname W(\mathfrak g)}</math>의 생성원의 다항식 차수가
:<math>d_1,d_2,\dotsc,d_{\dim_{\mathbb R}\mathfrak t}</math>
라고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 [[등급 대수]]의 동형이 존재한다.
:<math>\left(\frac{\mathbb R[\mathfrak t]}{\mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}} \right)_{(2)}\cong \operatorname H(G/T;\mathbb R)</math>
여기서
* <math>(-)_{(2)}</math>는 원래 [[등급 대수]]에서 각 성분의 등급을 2배로 곱하여 얻는 [[등급 대수]]이다. (즉, 홀수 등급의 성분은 모두 0이 된다.)
* <math>G/T</math>는 ([[아벨 군]]이므로 [[정규 부분군]]인) <math>T</math>에 대한 [[몫군]]이다.
즉, <math>G/T</math>의 실수 계수 코호몰로지는 등급 <math>2d_i</math>들의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

마찬가지로, <math>G</math>의 실수 계수 코호몰로지는 등급 <math>2d_i-1</math>의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

==== 호모토피 ====
콤팩트 리 군의 실수 계수 [[호모토피 군]]은 그 [[드람 코호몰로지]]로부터 [[유리수 호모토피 이론]]을 통해 계산될 수 있다. 특히, 모든 [[단순 리 대수]]는 [[킬링 형식]]을 통해 2차 불변 다항식을 가지므로, 각 [[단순 리 대수]] 성분에 대하여 3차 [[호모토피 군]]의 생성원이 존재한다.

콤팩트 리 군의 정수 계수 [[호모토피 군]]은 [[보트 주기성]]으로 계산될 수 있다.

==== 위상 K이론 ====
단일 연결 반단순 콤팩트 리 군 <math>G</math>가 주어졌다고 하자. <math>G</math>의 각 [[기본 표현]]
:<math>\rho_i \colon G \hookrightarrow \operatorname U(n_i)\subseteq\operatorname U(\infty)</math>
은 −1차 [[위상 K군]] <math>\operatorname K^{-1}(G)</math>의 원소를 정의한다. 이를 편의상 <math>\beta_i</math>로 표기하자.

<math>G</math>의 [[위상 K군]]들로 구성된 환
:<math>\operatorname K^\bullet(G)</math>
은 <math>\beta_i</math>들로 생성되는 [[외대수]]이다.

== 분류 ==
모든 콤팩트 리 군 <math>G</math>는 표준적으로 다음과 같은 꼴의 [[짧은 완전열]]을 갖는다.
:<math>1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1</math>
여기서 <math>G_0</math>은 <Math>G</math>의, <Math>1_G\in G</math>를 포함하는 [[연결 성분]]인 [[리 군]]이며, <math>\pi_0(G)</math>는 <math>G</math>의 [[연결 성분]]들로 구성된 [[이산군 (수학)|이산군]]이다.

연결 콤팩트 리 군 <math>G_0</math>는 항상 다음과 같은 꼴로 표현된다.
:<math>G_0 = \frac{T \times S}\Gamma</math>
여기서
* <math>T\cong \operatorname U(1)^n</math>은 [[원환면]]이다.
* <math>S</math>는 [[음의 정부호]] [[킬링 형식]]을 갖는 [[반단순 리 대수]]에 대응되는 [[단일 연결]] [[리 군]]이다.
* <math>\Gamma \le T\times \operatorname Z(S)</math>는 <math>T\times S</math>의 [[군의 중심|중심]]에 속하는 [[유한군]]이다. 또한, 이 경우 <math>T\cap \Gamma = \{1\}</math>이 되게 잡을 수 있다.

따라서, 콤팩트 리 군의 분류는 [[반단순 리 대수]]의 분류로 귀결되며, 이들은 [[딘킨 도표]]로 완전히 분류된다.

=== 초구를 이루는 리 군 ===
특히, 위 분류에 따라, [[초구]] 가운데 [[리 군]]의 구조를 갖출 수 있는 것은
:<math>\mathbb S^0 \cong \operatorname{Cyc}(2)</math> (2차 [[순환군]])
:<math>\mathbb S^1 \cong \operatorname U(1)</math> ([[원군]])
:<math>\mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2)</math> ([[SU(2)|2차 특수 유니터리 군]])
밖에 없다. 이들은 각각 [[실수체]] · [[복소수체]] · [[사원수 대수]]의 절댓값 1의 원소들의 [[리 군]]이다.

== 역사 ==
콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리는 [[하인츠 호프]]가 1941년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Heinz|성= Hopf|저자링크=하인츠 호프|제목=Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1941-01_42_1/page/n20|저널=Annals of Mathematics|권=42|호=1|날짜=1941-01|쪽=22–52|jstor=1968985|doi=10.2307/1968985|issn=0003486X|언어=de}}</ref> 사실, 호프는 [[호프 대수]]의 개념을 이 정리를 증명하기 위하여 이 논문에서 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Compact group}}
* {{eom|title=Lie group, compact}}
* {{매스월드|id=CompactLieGroup|title=Compact Lie group}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.cornell.edu/~ckfok/Cohomology_Lie_groups.pdf | 제목=Cohomology and ''K''-theory of compact Lie groups|이름=Chi-Kwong|성=Fok|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/61784/cohomology-of-bg-g-compact-lie-group | 제목=Cohomology of BG, G compact Lie group | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/2661759/proof-of-hopfs-theorem-the-one-about-cohomology-of-lie-groups-being-equal-to-t | 제목=Proof of Hopf's theorem (the one about cohomology of Lie groups being equal to the cohomology of a product of spheres) | 출판사=StackExchange | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]