콕서터 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''콕서터 군'''(Coxeter群, {{llang|en|Coxeter group}})은 일련의 [[반사 (기하학)|반사]]들로 구성되는 [[군 (수학)|군]]이다. 단순 [[리 군]]의 [[바일 군]]은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, [[다각형]]이나 [[다면체]]의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다.

== 정의 ==
'''콕서터 군'''은 다음과 같이 [[군의 표시|표시]]될 수 있는 [[군]]이다.
:<math>G=\langle r_1,r_2,\dots,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle</math>
여기서 행렬 <math>m_{ij}</math>는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
* <math>m_{ii}=1</math>
* <math>2\le m_{ij}\le\infty</math> (<math>i\ne j</math>). 여기서 <math>m_{ij}=\infty</math>인 경우는 <math>(r_ir_j)^{m_{ij}}=1</math>의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다.
이 행렬 <math>m</math>을 콕서터 군의 '''콕서터 행렬'''(Coxeter行列, {{llang|en|Coxeter matrix}})이라고 하고, <math>n</math>을 콕서터 군의 '''계수'''(階數, {{llang|en|rank}})라고 한다. 순서쌍 <math>(G,\{r_1,r_2,\dots,r_n\})</math>을 '''콕서터 계'''(Coxeter系, {{llang|en|Coxeter system}})라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 <math>BC_3\cong A_1\times A_3</math>이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다.

=== 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표 ===
콕서터 군의 콕서터 행렬 <math>M</math>은 다른 방법으로 표기할 수 있다.

'''콕서터 도표'''(Coxeter圖表, {{llang|en|Coxeter diagram}})은 콕서터 군을 [[그래프]]로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 <math>p</math>가 붙은 [[그래프]]이다.
* 콕서터 도표의 각 [[꼭짓점]]은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다.
* 콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 <math>p</math>가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 <math>\pi/p</math>라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다.
** <math>p=2</math>인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 <math>\pi/2=90^\circ</math>인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다.
** <math>p=3</math>인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 <math>\pi/3=60^\circ</math>인 경우에는 변을 그리되, <math>p</math>를 통상적으로 생략한다.
** <math>p\ne2,3</math>인 경우 통상적으로 변 및 <math>p</math>의 값을 생략하지 않는다.

콕서터 행렬 <math>M</math>에 대응하는 '''슐레플리 행렬'''({{llang|en|Schläfli matrix}}) <math>C</math>의 성분은 다음과 같다.
:<math>C_{i,j}=-2\cos(\pi/M_{i,j})</math>
즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 <math>\pi/p</math>의 분모 <math>p</math>를 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 [[코사인]]의 −2배를 표기한다.

예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다.
{| class=wikitable
|+ 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예
|- align=center
! 콕서터 군
! A<sub>1</sub>×A<sub>1</sub>
! A<sub>2</sub>
! Ĩ<sub>1</sub>
! A<sub>3</sub>
! BC<sub>3</sub>
! D<sub>4</sub>
! Ã<sub>3</sub>
|- align=center
! 콕서터 도표
|<math>\bullet\quad\bullet</math>
|<math>\bullet-\bullet</math>
|<math>\bullet\stackrel\infty-\bullet</math>
|<math>\bullet-\bullet-\bullet</math>
|<math>\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet</math>
|<math>\bullet-\bullet<{\bullet\atop\bullet}</math>
|<math>\bullet<{\bullet\atop\bullet}>\bullet</math>
|- align=center
!콕서터 행렬
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  2 \\
 2 &  1  \\
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 \\
 3 &  1  \\
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  \infty \\
 \infty &  1  \\
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 \\
 3 &  1 &  3 \\
 2 &  3 &  1
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  4 &  2 \\
 4 &  1 &  3 \\
 2 &  3 &  1
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 & 2 \\
 3 &  1 &  3 & 3 \\
 2 &  3 &  1 & 2\\
 2 &  3 &  2 & 1
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 & 3 \\
 3 &  1 &  3 & 2 \\
 2 &  3 &  1 & 3\\
 3 &  2 &  3 & 1
\end{smallmatrix}\right)</math>
|- align=center
!슐레플리 행렬
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  0 \\
 0 &  2
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  -1 \\
 -1 &  2
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  -2 \\
 -2 &  2
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  -1 &  0 \\
 -1 &  2 &  -1 \\
 0 &  -1 &  2
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 2 & -\sqrt{2} &  0 \\
 -\sqrt{2} &  2 &  -1 \\
 0 &  -1 &  2
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 2 & -1  & 0 & 0 \\
-1 &  2 &  -1 & -1 \\
 0 & -1 &  2 & 0\\
 0 & -1 &  0 & 2
\end{smallmatrix}\right)</math>
|<math>\left(
\begin{smallmatrix}
 2 & -1  & 0 & -1 \\
-1 &  2 &  -1 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1\\
-1 &  0 &  -1 & 2
\end{smallmatrix}\right)</math>
|- align=center
!슐레플리 행렬의 고윳값
|2, 2
|1, 3
|0, 4
|2, 2±√2
|2, 2±√3
|2, 2, 2±√3
|0, 2, 2, 4
|- align=center
!분류
|유한
|유한
|아핀
|유한
|유한
|유한
|아핀
|}

콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 <math>C</math>의 [[고윳값]]들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.
* '''유한 콕서터 군'''({{llang|en|finite Coxeter group}}): <math>C</math>의 고윳값들이 모두 양의 실수이다. 이 경우는 [[유한군]]이며, [[폴리토프]](=[[초구]]의 [[테셀레이션]])의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]과 관련있다.
* '''아핀 콕서터 군'''({{llang|en|affine Coxeter group}}): <math>C</math>의 고윳값들이 모두 음의 실수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다. 이 경우는 무한군이며, [[유클리드 공간]]의 [[테셀레이션]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]과 관련있다.
* '''쌍곡선 콕서터 군'''({{llang|en|hyperbolic Coxeter group}}): <math>C</math>는 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다. 이 경우는 무한군이며, [[쌍곡공간]]의 [[테셀레이션]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]과 관련있다.

== 성질 ==
=== 크기 ===
유한 콕서터 군의 크기 <math>g</math>는 그 콕서터 수 <math>h</math>와 다음과 같이 관계있다.<ref>{{서적 인용 | last = Coxeter | first = H. S. M. | authorlink = 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터 | title = Regular polytopes | publisher = Methuen and Company | year = 1948 |언어=en }}</ref>{{rp|233}}
* [p]: 2h/g<sub>p</sub> = 1
* [p,q]: 8/g<sub>p,q</sub> = 2/p + 2/q -1
* [p,q,r]: 64h/g<sub>p,q,r</sub> = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
* [p,q,r,s]: 16/g<sub>p,q,r,s</sub> = 8/g<sub>p,q,r</sub> + 8/g<sub>q,r,s</sub> + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1

=== 호몰로지 ===
콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 [[군 호몰로지]])는 2차 순환군 <math>\mathbb Z/2</math>들의 유한 개의 [[직합]]이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 [[군 호몰로지]]) 역시 알려져 있다.<ref>{{저널 인용
|first1 = Shin-ichiro
|last1 = Ihara
|first2 = Takeo
|last2 = Yokonuma
|title = On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups
|날짜 = 1965-03-15
|journal =Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section 1: Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry
|권 = 11 | 호=2
|pages = 155–171 |zbl=0136.28802
|url = http://hdl.handle.net/2261/6049
|issn=0368-2269
|언어=en
}}</ref><ref>{{저널 인용
|first = Takeo
|last = Yokonuma
|title = On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups
|날짜 = 1965-03-15
|journal =Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section 1: Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry
|권 = 11 | 호=2
|pages = 173–186 |zbl=0136.28803
|url=http://hdl.handle.net/2261/6050
|issn=0368-2269
|언어=en
}}</ref><ref>{{저널 인용
|title=On the Schur Multipliers of Coxeter Groups
|first=Robert B.
|last=Howlett
|journal=Journal of the London Mathematical Society
|year=1988
|series = 2
|volume=38
|issue=2
|pages=263–276
|doi=10.1112/jlms/s2-38.2.263  |zbl=0627.20019
|언어=en
}}</ref>

=== 불변량 ===
계수 <math>n</math>의 유한 콕서터 군 <math>G</math>는 <math>n</math>차원 (실수) [[벡터 공간]] <math>V</math>위에 자연스러운 [[군의 표현|표현]]을 갖는다. 이 경우, <math>G</math>의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 <math>\mathbb C[V]^G</math>을 생각할 수 있다.

이는 항상 자유 가환 [[단위 결합 대수]](=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 <math>\mathbb C[V]^G</math>의 생성원들의 수는 군의 계수 <math>n</math>이며, 불변량 대수의 생성원('''기본 불변량''' {{llang|en|fundamental invariant}})들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다.
* 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 <math>h</math>이며, 최솟값은 2이다.
* 차수 <math>d</math>의 생성원이 존재한다면, 차수 <math>h+2-d</math>의 생성원 역시 존재한다.

=== 콕서터 원소 ===
반사 <math>r_1,\dotsc,r_n</math>으로 생성되는 콕서터 군 <math>G</math>의 '''콕서터 원소'''는 다음과 같은 꼴의 원소이다.
:<math>r_{\sigma(1)}r_{\sigma(2)}\dotsm r_{\sigma(n)}\in G\qquad(\sigma\in\operatorname{Sym}(n))</math>
물론, 이는 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(n)</math>에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 [[켤레류]]에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군 <math>G</math>의 '''콕서터 수'''(Coxeter數, {{llang|en|Coxeter number}})라고 한다.

=== 길이 함수 ===
{{본문|콕서터 길이 함수}}
콕서터 군 <Math>G</math> 위에는 다음과 같은 '''[[콕서터 길이 함수]]'''가 존재한다.
:<math>\ell \colon G\to\mathbb N</math>
이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 이 길이 함수를 사용하여 <math>G</math> 위에 여려 [[부분 순서]]를 정의할 수 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다.

== 분류 ==
=== 유한 콕서터 군 ===
유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다.

:{| class="wikitable"
! 기호 || 다른 기호 || 콕서터 표기법 || 콕서터 도표 || 크기 || 콕서터 수 ''h'' || 관련 [[폴리토프]] || 기본 불변량들의 차수
|- align=center
!''A''<sub>''n''</sub>
|| ''A''<sub>''n''</sub> || [3<sup>n-1</sup>] || <math>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet</math> || (''n'' + 1)! || ''n'' + 1 || ''n''-[[단체 (수학)|단체]] || 2, 3, 4, …, ''n'' + 1
|- align=center
!''BC''<sub>''n''</sub>
|| ''C''<sub>''n''</sub> || [4,3<sup>n-2</sup>] || <math>\bullet\stackrel{4}{-}\bullet-\cdots-\bullet</math> || 2<sup>''n''</sup> ''n''! || 2''n'' || ''n''-[[초입방체]] / ''n''-cross-polytope || 2, 4, 6, …, 2''n''
|- align=center
!''D''<sub>''n''</sub>
|| ''B''<sub>''n''</sub> || [3<sup>n-3,1,1</sup>] || <math>\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}</math> || 2<sup>''n''−1</sup> ''n''! || 2''n'' − 2 || ''n''-demihypercube || 2, 4, 6, …, 2''n'' − 2
|- align=center
![[E₆|''E''<sub>6</sub>]]
|| ''E''<sub>6</sub> || [3<sup>2,2,1</sup>] || <math>{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet</math> || 72×6! || 12 || 2<sub>21</sub>, 1<sub>22</sub> || 2, 5, 6, 8, 9, 12
|- align=center
![[E₇|''E''<sub>7</sub>]]
||''E''<sub>7</sub> || [3<sup>3,2,1</sup>] || <math>{{\bullet-\bullet}\atop{\qquad\bullet}}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math> || 72×8! || 18 || 3<sub>21</sub>, 2<sub>31</sub>, 1<sub>32</sub> || 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
|- align=center
![[E₈|''E''<sub>8</sub>]]
|| ''E''<sub>8</sub> || [3<sup>4,2,1</sup>] || <math>{{\bullet-\bullet}\atop{\qquad\bullet}}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math> || 192×10! || 30 || 4<sub>21</sub>, 2<sub>41</sub>, 1<sub>42</sub> || 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
|- align=center
![[F₄|''F''<sub>4</sub>]]
||''F''<sub>4</sub> || [3,4,3] || <math>\bullet-\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet</math> || 1152 || 12 || 24-cell || 2, 6, 8, 12
|- align=center
!''H''<sub>3</sub>
|| ''G''<sub>3</sub> || [3,5] || <math>\bullet-\bullet\stackrel5-\bullet</math> || 120 || 10 || [[정이십면체]] / [[정십이면체]] || 2, 6, 10
|- align=center
!''H''<sub>4</sub>
|| ''G''<sub>4</sub> || [3,3,5] || <math>\bullet-\bullet-\bullet\stackrel5-\bullet</math> || 14400 || 30 || 120-cell / 600-cell || 2, 12, 20, 30
|- align=center
!''I''<sub>2</sub>(''p'')
|| ''D''<sub>2</sub><sup>''p''</sup> || [''p''] || <math>\bullet\stackrel p-\bullet</math> || 2''p'' || ''p'' || [[정다각형|정''p''각형]] || 2, ''p''
|}
위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다.
:<math>A_2=I_2(3)</math>
:<math>BC_2=I_2(4)</math>
:<math>D_3=A_3</math>
또한, <math>E_n</math> 및 <math>H_n</math>을 작은 <math>n</math>에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다.
:<math>E_5=D_5</math>
:<math>E_4=A_4</math>
:<math>H_2=I_2(5)</math>

'''[[바일 군]]'''은 유한 콕서터 군 가운데, '''결정 조건'''(結晶條件, {{llang|en|crystallographic condition}})을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, <math>p=4</math> 또는 <math>p=6</math>인 경우는 각각 [[딘킨 도표]]에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 [[바일 군]]인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 [[직접곱]]이다.
* <math>A_n</math>
* <math>BC_n</math>. 이들은 리 군 <math>B_n</math> 및 <math>C_n</math>의 바일 군이다.
* <math>D_n</math>
* <math>E_6</math>, <math>E_7</math>, <math>E_8</math>
* <math>F_4</math>
* <math>I_2(6)</math>. 이는 <math>G_2</math>의 바일 군이다.

유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다.
:[[파일:Finite coxeter.svg]]

=== 아핀 콕서터 군 ===
아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다.

{| class="wikitable"
!기호 || 비트 기호 || 콕서터 기호 || 관련 [[테셀레이션]] || 콕서터 도표
|- align=center
!<math>{\tilde{A}}_n</math>
||''P''<sub>''n+1''</sub> || [3<sup>[''n'']</sup>] || [[단체 (수학)|단체]] 쪽매맞춤(simplectic honeycomb) || <math>\bullet<{\bullet-\cdots-\bullet\atop\bullet-\cdots-\bullet}>\bullet</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{B}}_n</math>
||''S''<sub>''n+1''</sub> || [4,3<sup>n-3</sup>,3<sup>1,1</sup>] || 반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤 ||  <math>\bullet\stackrel4-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{C}}_n</math>
||''R''<sub>''n+1''</sub> || [4,3<sup>''n''−2</sup>,4] || [[하이퍼큐브]] 쪽매맞춤 || <math>\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\stackrel4-\bullet</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{D}}_n</math>
||''Q''<sub>''n+1''</sub> || [ 3<sup>1,1</sup>,3<sup>''n''−4</sup>,3<sup>1,1</sup>] || demihypercubic honeycomb || <math>{\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{E}}_6</math>
||''T''<sub>''7''</sub> || [3<sup>2,2,2</sup>] || 2<sub>22</sub> || <math>{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{E}}_7</math>
||''T''<sub>''8''</sub> || [3<sup>3,3,1</sup>] || 3<sub>31</sub>, 1<sub>33</sub> || <math>{\bullet-\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{E}}_8</math>
||''T''<sub>''9''</sub> || [3<sup>5,2,1</sup>] || 5<sub>21</sub>, 2<sub>51</sub>, 1<sub>52</sub> || <math>{\bullet-\bullet\atop\qquad\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{F}}_4</math>
||''U''<sub>''5''</sub> || [3,4,3,3] || 16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤|| <math>\bullet-\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet-\bullet</math>
|- align=center
!<math>{\tilde{G}}_2</math>
||''V''<sub>''3''</sub> || [6,3] || 정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤 || <math>\bullet\stackrel6-\bullet-\bullet</math>
|- align=center
! <math>{\tilde{I}}_1</math>
||''W''<sub>''2''</sub> || [∞] || 직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤 || <math>\bullet\stackrel\infty-\bullet</math>
|}
아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다.
:[[파일:Affine_coxeter.svg]]

=== 쌍곡선 콕서터 군 ===
'''쌍곡선 콕서터 군'''({{llang|en|hyperbolic Coxeter group}})의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다.

== 역사 ==
[[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터]]가 1930년대에 도입하였다.<ref>{{저널 인용
|authorlink=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|first=H. S. M.
|last=Coxeter
|title=Discrete groups generated by reflections
|journal=Annals of Mathematics
|volume=35
|날짜=1934-07
|issue=3
|pages=588–621
|jstor=1968753
|doi=10.2307/1968753
|issn=0003-486X
|언어=en
|url=http://mduchin.math.tufts.edu/UCD/ggt/coxeter.pdf
}}</ref><ref>{{저널 인용
|authorlink=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|first=H. S. M.
|last=Coxeter
|title=The complete enumeration of finite groups of the form <math>R_i^2=(R_iR_j)^{k_{ij}}=1</math>
|journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=10 |issue=1 |doi=10.1112/jlms/s1-10.37.21
|year=1935
|pages=21–25
|issn=0024-6107
|언어=en
}}</ref> 이후 [[자크 티츠]]와 [[니콜라 부르바키]]가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | title = The geometry and topology of Coxeter groups
|first = Michael W. | last = Davis | 날짜 = 2007 | url = http://www.math.osu.edu/~mdavis/davisbook.pdf | isbn = 978-0-691-13138-2 |zbl=1142.20020 | 출판사=Princeton University Press | 총서= London Mathematical Society Monographs | 권=32 | 언어=en}}
* {{서적 인용 |first2=Clark T. |last2=Benson |first=Larry C. |last=Grove |title=Finite reflection groups  |날짜=1985|판=2판 |publisher=Springer |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=99 |isbn=978-1-4419-3072-9| doi= 10.1007/978-1-4757-1869-0 | issn=0072-5285|언어=en }}
* {{서적 인용 |first=Richard |last=Kane |title=Reflection groups and invariant theory  |날짜=2001 |publisher=Springer |series=CMS Books in Mathematics |isbn=978-0-387-98979-2 |zbl=0986.20038| doi= 10.1007/978-1-4757-3542-0| issn=1613-5237|언어=en }}
* {{서적 인용 |first=Howard |last=Hiller |title=Geometry of Coxeter groups  |날짜=1982 |publisher=Pitman |isbn=978-0-273-08517-1 |series=Research Notes in Mathematics |volume=54 |zbl=0483.57002|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=The Coxeter legacy: reflections and projections|이름1=Chandler |성1=Davis|이름2=Erich W.|성2=Ellers|출판사=American Mathematical Society, Fields Institute|isbn=978-0-8218-3722-1|날짜=2006|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=coxeter|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Coxeter groups and Hopf algebras|이름1=Marcelo |성1=Aguiar|이름2=Swapneel|성2=Mahajan|출판사=American Mathematical Society, Fields Institute|isbn=978-0-8218-5354-2|총서=Fields Institute Monographs|날짜=2006|url=http://www.math.cornell.edu/~maguiar/monograph.pdf|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[바일 군]]
* [[근계]]
* [[정다면체]]
* [[테셀레이션]]
* [[아핀 리 대수]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Coxeter group}}
* {{eom|title=Reflection group}}
* {{매스월드|id=CoxeterGroup|title=Coxeter group}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2010/06/26/coxeter-groups/|제목=Coxeter groups|이름=Qiaochu|성=Yuan|웹사이트=Annoying Precision|날짜=2010-06-26|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.math.ubc.ca/~cass/coxeter/crm.html|제목=The CRM Winter School on Coxeter groups|날짜=2002-01|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:이산 군]]
[[분류:다포체]]