코호몰로지 연산 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''코호몰로지 연산'''(cohomology演算, {{llang|en|cohomology operation}})은 [[코호몰로지]] [[함자 (수학)|함자]] 사이의 [[자연 변환]], 또는 이를 나타내는 [[에일렌베르크-매클레인 공간]] 사이의 [[연속 함수]]의 [[호모토피류]]이다.

== 정의 ==
=== 1차 코호몰로지 연산 ===
자연수 <math>m,n\in\mathbb N</math> 및 [[아벨 군]] <math>G,H\in\operatorname{Ab}</math>에 대하여, '''<math>(m,n;G,H)</math>형 1차 코호몰로지 연산'''({{llang|en|primary cohomology operation of type <math>(m,n;G,H)</math>}})은 [[에일렌베르크-매클레인 공간]] 사이의 [[연속 함수]]의 [[호모토피류]]
:<math>A\colon K(G,m)\to K(H,n)</math>
이다. <math>(m,n;G,H)</math>형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 [[에일렌베르크-매클레인 공간]]의 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname H^n\left(K(G,m);H\right)</math>
를 이룬다. <math>(m,n;G,H)</math>형 1차 코호몰로지 연산 <math>\alpha</math>는 코호몰로지 [[함자 (수학)|함자]] 사이의 [[자연 변환]]
:<math>A_*\colon \operatorname H^m(-;G)\Rightarrow \operatorname H^n(-;H)</math>
을 유도한다.

=== 2차 코호몰로지 연산 ===
에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 [[세르 올뭉치]]를 갖는다.
:<math>K(H,n-1)\simeq \Omega K(H,n)\hookrightarrow \mathcal PK(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n)</math>
여기서 <math>\Omega X=[\mathbb S^1,X]_\bullet</math>는 [[고리 공간]], <math>\mathcal PX=[\mathbb I,X]_\bullet</math>는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 <math>\alpha\in \operatorname H^n\left(K(G,m);H\right)</math>에 대하여, [[올뭉치]]의 [[당김]]
:<math>K(H,n-1)\stackrel{\iota}\hookrightarrow \alpha^*\mathcal PK(H,n)\stackrel\pi\twoheadrightarrow K(G,m)</math>
을 정의할 수 있다. <math>A</math> 위의 '''<math>(H',n')</math>형 2차 코호몰로지 연산'''은 <math>A^*\mathcal PK(H,n)</math> 위의 코호몰로지류
:<math>B\in \operatorname H^{n'}(\alpha^*\mathcal PK(H,n),n')</math>
이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
K(H,n-1)&\stackrel\iota\hookrightarrow &A^*\mathcal PK(H,n)&\stackrel\pi\twoheadrightarrow &K(G,m)\\
&&\downarrow\scriptstyle B\\
&& K(H',n')
\end{matrix}
</math>

그렇다면,
:<math>B\circ\iota\colon K(H,n-1)\to A^*\mathcal PK(H,n)\to K(H',n')</math>
를 사용하여
:<math>(B\circ\iota)_*\colon\operatorname H^{n-1}(X;H)\to \operatorname H^{n'}(X;H')</math>
를 정의할 수 있다.

2차 코호몰로지 연산 <math>B\in \operatorname H^{n'}(\alpha^*\mathcal PK(H,n),n')</math>는 코호몰로지류 위의 함수
:<math>B_*\colon (\ker A_* \subseteq\operatorname H^m(X,G)) \to \frac{\operatorname H^{n'}(X;H')}{(B\circ\iota)_*\operatorname H^{n-1}(X;H)}</math>
를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류
:<math>\alpha\colon X\to K(G,m)</math>
가 주어졌을 때,
:<math>B_*(\alpha)=B\circ\pi^{-1}\circ a\colon X\to \operatorname H^{n'}(X;H')</math>
이다. 여기서 사용한 [[역함수]] <math>\pi^{-1}</math>는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,
* <math>\pi^{-1}</math>는 <math>\ker A_*</math> 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
* <math>\pi^{-1}</math>는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 <math>(B\circ\iota)_*\operatorname H^{n-1}(X;H)</math>에 속한다.

=== 고차 코호몰로지 연산 ===
보다 일반적으로, <math>k</math>차 코모홀로지 연산에 대응하는 <math>k+1</math>차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 <math>A_1\colon K(G_0,n_0)\to K(G_1,n_1)</math>에 대한 2차 코호몰로지 연산 <math>A_2\colon A_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)\to K(G_2,n_2)</math>이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 <math>A_3\colon A_2^*\mathcal PK(G_2,n_2)\to K(G_3,n_3)</math>이다. 즉, 다음과 같다.
:<math>
\begin{matrix}
K(G_1,n_1-1)&\stackrel{\iota_1}\hookrightarrow &A_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)&\stackrel{\pi_1}\twoheadrightarrow &K(G_0,n_0)\\
&&\downarrow\scriptstyle A_2\\
&& K(G_2,n_2)
\end{matrix}
</math>
:<math>
\begin{matrix}
K(G_2,n_2-1)&\stackrel{\iota_2}\hookrightarrow &A_2^*\mathcal PK(G_2,n_2)&\stackrel{\pi_2}\twoheadrightarrow &A_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)\\
&&\downarrow\scriptstyle A_3\\
&& K(G_3,n_3)
\end{matrix}
</math>
이는 연산
:<math>A_3^*\colon \left(\ker A_2^*\subseteq\operatorname H^{n_0}(-;G_0)\right)\to \frac{\operatorname H^{n_3}(-;G_3)}{(A_3\circ\iota_2)^*\operatorname H^{n_2-1}(-;G_2)}</math>
을 정의한다.

== 예 ==
[[특이 코호몰로지]]에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다.
* [[합곱]] <math>\smile\colon K(G,m)\times K(G,n)\to K(G,m+n)</math>. 이는 불안정 연산이다.
* [[스틴로드 제곱]] <math>\operatorname{Sq}^i\colon K(\mathbb Z/2,n)\to K(\mathbb Z/2,n+i)</math>
* [[스틴로드 축소 제곱]] <math>P^i\colon K(\mathbb Z/p,n)\to K(\mathbb Z/p,n+2i(p-1)</math>, <math>p</math> [[소수 (수론)|소수]]
* 폰트랴긴 제곱 <math>K(\mathbb Z/p^r,2n)\to K(\mathbb Z/p^{r+1},2pn)</math>
* [[아벨 군]]의 [[짧은 완전열]] <math>G/N=H</math>에 대하여, [[복시테인 준동형]] <math>K(H,n)\to K(N,n+1)</math>
* 포스트니코프 제곱
* [[매시 곱]]. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 | last1=Mosher | first1=Robert E. | last2=Tangora | first2=Martin C. | title=Cohomology operations and applications in homotopy theory | url=https://archive.org/details/cohomologyoperat0000mosh | 날짜=1968 | publisher=Harper & Row | mr=0226634 |언어=en}}
*{{서적 인용 | last1=Steenrod | first1=N. E. | 저자링크=노먼 스틴로드 | title=Cohomology operations | publisher=Princeton University Press | series= Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-07924-0 | mr=0145525 | year=1962 | volume=50 | 언어=en}}
*{{서적 인용 | last1=Baues | first1=Hans-Joachim | title=The algebra of secondary cohomology operations | publisher=Birkhäuser | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-7448-8 |mr=2220189 | year=2006 | volume=247 | 언어=en}}
*{{서적 인용 | last1=Harper | first1=John R. | title=Secondary cohomology operations  | publisher=American Mathematical Society | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-3198-4 |mr=1913285 | year=2002 | volume=49 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=cohomology operation|title=Cohomology operation}}
* {{nlab|id=power operation|title=Power operation}}
* {{nlab|id=logarithmic cohomology operation|title=Logarithmic cohomology operation}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/50519/integral-cohomology-stable-operations|제목=Integral cohomology (stable) operations|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]