코쥘 복합체 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''코쥘 복합체'''(Koszul複合體, {{llang|en|Koszul complex}})는 가환환의 가군 및 가군의 특별한 원소로부터 정의되는 [[미분 등급 대수]]이다. 이를 통하여 가군의 '''코쥘 코호몰로지'''({{llang|en|Koszul cohomology}})를 정의할 수 있다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* (단위원을 갖는) [[가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>
* <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>\phi\colon M\to R</math>
그렇다면 [[외대수]]
:<math>K_\bullet=\bigwedge^\bullet M</math>
은 [[쐐기곱]]을 통해 결합 [[등급환|등급 가환]] <math>R</math>-[[대수 (환론)|대수]]가 된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 정의하자.
:<math>\partial_i\colon K_i\to K_{i-1}</math>
:<math>\partial_i\colon e_1\wedge\cdots\wedge e_n\mapsto\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\phi(e_i)e_1\wedge\cdots\wedge\hat e_i\wedge\cdots e_n</math>
여기서 <math>\cdots\wedge\hat e_i\wedge\cdots</math>는 [[쐐기곱]]에서 <math>e_i</math>만을 제외한다는 뜻이다.
<math>\partial_i\circ\partial_{i+1}=0</math>이므로, <math>(K_\bullet(R,M,\phi),\partial)</math>은 [[사슬 복합체]]이자 [[미분 등급 대수]]를 이룬다. 이를 '''코쥘 복합체'''라고 한다.

<math>R</math>-가군 <math>M</math> 및 사상 <math>\phi\colon M\to R</math>이 주어졌을 때, <math>M</math>의 '''코쥘 호몰로지'''는 그 코쥘 복합체의 호몰로지다.
:<math>H_i(M,\phi)=\frac{\ker\partial_i}{\operatorname{im}\partial_{i-1}}</math>
마찬가지로, <math>M</math>의 '''코쥘 코호몰로지'''는 그 쌍대 복합체
:<math>K^i=\hom_{R\text{-Mod}}(K_i,R)</math>
의 코호몰로지다.

== 예 ==
=== 가환환 계수 ===
<math>M=R</math>이며 <math>\phi\colon r\mapsto xr</math>이라고 하자 (<math>x\in R</math>). 그렇다면, 코쥘 복합체는
:<math>0\to R\xrightarrow xR\to0</math>
이 된다. 즉, 이는 길이가 2인 [[사슬 복합체]]이며, 그 호몰로지는
:<math>\operatorname H_0=R/(x)</math>
:<math>\operatorname H_1=\operatorname{Ann}_R(x)=\{r\in R\colon rx=0\}</math>
이다 (<math>\operatorname{Ann}</math>은 [[소멸자]]).

=== 자유 가군 계수 ===
마찬가지로, <math>M</math>이 [[자유 가군]] <math>M=R^n</math>이며
:<math>\phi\colon(r_1,\dots,r_n)\mapsto x_1r_1+\cdots+x_nr_n</math>
이라고 하자 (<math>x\in R^n</math>). 그렇다면, 코쥘 복합체는
:<math>K_i=\bigwedge^iR^n\cong R^{\binom ni}</math>
가 되며, 복합체의 길이는 <math>n+1</math>이 된다.

== 성질 ==
[[대수다양체]]나 [[스킴 (수학)|스킴]] 위의 [[연접층]]의 [[층 코호몰로지]]는 코쥘 코호몰로지의 [[귀납적 극한]]으로 계산할 수 있다.

== 역사 ==
[[장루이 코쥘]]이 1950년에 [[리 대수 코호몰로지]]를 정의하기 위해 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Jean-Louis|성=Koszul|저자링크=장루이 코쥘|제목=Homologie et cohomologie des algèbres de Lie|저널= Bulletin de la Société Mathématique de France|권=78|날짜=1950|쪽=65–127|issn=0037-9484|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1950__78__65_0|zbl=0039.02901|mr=36511|언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}
*{{서적 인용 | last=Aprodu | first=Marian | 공저자=Jan Nagel | title=Koszul cohomology and algebraic geometry | publisher=American Mathematical Society | 총서=University Lecture Series | isbn=978-0-8218-4964-4 |mr=2573635 | zbl=1189.14001|날짜=2010 | volume=52 | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=ulect-52 | 언어=en}}
*{{서적 인용 | 성=Green | 이름=Mark L. | 편집자=Maurizio Cornalba, X. Gómez-Mont, A. Verjovsky | title=Lectures on Riemann Surfaces: Proceedings of the College on Riemann Surfaces, International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy, 9 Nov.–18 Dec, 1987  | 출판사=World Scientific | isbn=9789971509026  |mr=1082354 | zbl=0800.14004 | 날짜=1989 | 장=Koszul cohomology and geometry | pages=177–200 | 언어=en}}
* {{서적 인용|장=Koszul cohomology and applications to moduli|이름=Marian|성=Aprodu|공저자=Gavril Farkas|장url=http://www.mathematik.hu-berlin.de/~farkas/clay4.pdf|zbl=1248.14039|제목=Grassmannians, moduli spaces and vector bundles|url=http://www.claymath.org/publications/proceedings/vol-14-grassmannians-moduli-spaces-and-vector-bundles|총서=Clay Mathematics Proceedings 14|출판사=American Mathematical Society, Clay Mathematical Institute|isbn=978-0-8218-5205-7|쪽=25–50|날짜=2011|편집자=David A. Ellwood,  Emma Previato|arxiv=0811.3117|언어=en|access-date=2014-11-13|archive-date=2014-11-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20141127034226/http://www.claymath.org/publications/proceedings/vol-14-grassmannians-moduli-spaces-and-vector-bundles|url-status=}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Koszul complex}}
* {{nlab|id=Koszul complex}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/11/07/the-koszul-complex-i/|제목=The Koszul complex I |이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-11-07|언어=en}}
** {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/11/14/the-koszul-complex-ii/|제목=The Koszul complex II |이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-11-14|언어=en}}
** {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/11/14/koszul-cohomology-and-cech-cohomology/|제목=Koszul cohomology and Cech cohomology II |이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-11-14|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/146353/history-of-koszul-complex|제목=History of Koszul complex|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/102917/urge-reason-for-inventing-interior-product-grassmann-algebra|제목=Urge/reason for inventing interior product (Grassmann algebra)|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:호몰로지 대수학]]