코시 주요값 문서 원본 보기

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'''코시 주요값'''(Cauchy主要-, {{lang|en|Cauchy principal value}}) 또는 '''코시 주치'''(Cauchy主値)는 일반적인 정적분으로 값을 구할 수 없는 일부 [[이상적분]]의 값을 구하는 방법 중 하나이다. [[오귀스탱 루이 코시]]가 도입하였다.

== 정의 ==
함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가 <math>x_0</math> 근처에서 발산한다고 하자. 그렇다면 <math>a<x_0<b</math>에서의 적분
:<math>\int_a^b f(x)\;\mathrm dx</math>
이 [[리만 적분]] 또는 [[르베그 적분]]으로서 존재하지 않을 수 있다. 그러나 가끔 다음과 같은 극한이 존재할 수 있다.
:<math>\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx\;\stackrel{\text{def}}=\;\lim_{\epsilon\to0+}\int_a^{x_0-\epsilon}f(x)\;\mathrm dx+\int_{x_0+\epsilon}^bf(x)\;\mathrm dx</math>
이렇게 적분을 [[규칙화]]하여 얻는 값을 '''코시 주요값'''이라 한다. 실함수 뿐만 아니라, 복소 함수의 [[선적분]]의 경우에도 유사한 방법으로 코시 주요값을 정의할 수 있다.

== 예 ==
예를 들어, <math>1/x</math>를 <math>a<0<b</math>에서 적분해 보자. 이는 르베그 적분으로서 존재하지 않지만,
:<math>\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0}\left[\log(b/\epsilon)-\log(-a/\epsilon)\right]
=\log(-b/a)</math>
와 같이 코시 주요값으로 존재한다.

== 응용 ==
[[힐베르트 변환]]의 정의에 사용된다.

== 같이 보기 ==
* [[힐베르트 변환]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CauchyPrincipalValue|title=Cauchy principal value}}

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:적분]]
[[분류:총합법]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]