코시 적분 공식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[복소해석학]]에서 '''코시 적분 공식'''(-積分公式, {{llang|en|Cauchy's integral formula}})은 [[정칙 함수]]를 [[경계 (위상수학)|경곗값]]에 대한 [[경로 적분]]으로 나타내는 공식이다.

== 정의 ==
[[유계 집합|유계]] [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''코시 적분 공식'''에 따르면, 임의의 <math>z_0\in D</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|87, §3.3, 정리1}}
:<math>f(z_0)=\frac 1{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz</math>
우변의 적분을 '''코시 적분'''(-積分, {{llang|en|Cauchy integral}})이라고 부른다.

=== 고계 도함수 ===
이는 <math>f|_{\partial D}</math>에 [[코시 변환]]을 가하여 얻는 함수이므로, 임의의 음이 아닌 정수 <math>n</math> 및 <math>z_0\in D</math>에 대하여,
:<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm dz</math>
이다.

=== 코시 부등식 ===
이에 따라, 임의의 음이 아닌 정수 <math>n</math> 및 <math>z_0\in D</math> 및 <math>0<r<d(z_0,\partial D)</math>에 대하여,
:<math>|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{r^n}\sup_{|z|=r}|f(z)|</math>
이다. 이를 '''[[코시 부등식]]'''이라고 한다.

== 증명 ==
임의의 <math>0<r<d(z_0,\partial D)</math>를 취하자. 그렇다면, 항등식
:<math>\int_{|z-z_0|=r}\frac{\mathrm dz}{z-z_0}=2\pi i</math>
:<math>\int_{|z-z_0|=r}\mathrm dz=0</math>
과 [[코시 적분 정리]]에 의하여,
:<math>\begin{align}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz-2\pi if(z_0)
&=\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz-2\pi if(z_0)\\
&=\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz
-\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z_0)}{z-z_0}\mathrm dz
-\int_{|z-z_0|=r}f'(z_0)\mathrm dz\\
&=\int_{|z-z_0|=r}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right)\mathrm dz
\end{align}</math>
이며, 따라서
:<math>\left|\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz-2\pi if(z_0)\right|
\le\lim_{r\to 0^+}\left(\max_{|z-z_0|=r}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|\int_{|z-z_0|=r}|\mathrm dz|\right)
=0
</math>
이다.

== 예 ==
적분
:<math>\int_{|z|=2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}</math>
를 생각하자. 함수
:<math>z\mapsto\frac 1{z^2+1}</math>
는
:<math>\{z\in\mathbb C\colon |z|<2,\;|z-i|,|z+i|>1/2\}</math>
의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 정리에 의하여
:<math>\begin{align}\int_{|z|=2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}
&=\int_{|z-i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}+\int_{|z+i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}\\
&=\int_{|z-i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}+\int_{|z+i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}
\end{align}</math>
이다. 첫째 항에서 함수
:<math>z\mapsto\frac 1{z+i}</math>
는
:<math>\{z\in\mathbb C\colon |z-i|<1/2\}</math>
의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여
:<math>\int_{|z-i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}
=\frac{2\pi i}{z+i}\bigg|_{z=i}
=\pi</math>
이며, 마찬가지로 둘째 항에서 함수
:<math>z\mapsto\frac 1{z-i}</math>
는
:<math>\{z\in\mathbb C\colon |z+i|<1/2\}</math>
의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여
:<math>\int_{|z+i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}
=\frac{2\pi i}{z-i}\bigg|_{z=-i}
=-\pi</math>
이다. 따라서,
:<math>\int_{|z|=2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}=0</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[코시-리만 방정식]]
* [[모레라 정리]]
* [[미타그레플레르 정리]]
* [[그린 함수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cauchy integral}}
* {{매스월드|id=CauchyIntegralFormula|title=Cauchy integral formula}}

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]