코시 응집판정법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
'''코시 응집판정법'''(-凝集判定法, {{lang|en|Cauchy condensation test}})은 [[오귀스탱 루이 코시]]의 이름이 붙은 [[무한급수]]의 [[수렴판정법]]이다. 음이 아닌 [[실수]]의 [[감소수열]]에 대한 급수

:<math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + \cdots \cdots</math>

의 수렴성을, 2의 [[거듭제곱]]번째 항만으로 재구성한 급수

:<math>a_1 + a_2 + a_2 + a_4 + a_4 + a_4 + a_4 + \cdots \cdots</math>

의 수렴성으로 귀결시킨다.

== 내용 ==
{{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 실수열이고 임의의 자연수 {{수학|''n''}}에 대해 {{수학|''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}, {{수학|''a<sub>n</sub>'' ≥ ''a''<sub>''n'' + 1</sub>}}일 때, <math>\textstyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}</math>이 수렴할 필요충분조건은 <math>\textstyle{\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}}</math>가 수렴하는 것이다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}</ref>{{rp|61-62}} 더 나아가, 원래 급수의 합의 범위는 다음과 같이 추정된다.<ref name="Tao">{{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}</ref>{{rp|171, §7.3, Proposition 7.3.4}}

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n \le \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>

극히 소수의 항만을 이용해 전체 급수의 수렴성을 판정하는 것이 이 판정법의 특징이다.

== 증명 ==
[[부분합]]에 관한 부등식

:<math>\sum_{n=1}^{2^{k+1}-1} a_n \le \sum_{n=0}^k 2^na_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{2^k} a_n</math>

을 증명하면, 두 급수는 부분합의 유계성이 같아 [[단조수렴정리]]에 의해 수렴성이 같다. 또 여기에 극한을 취하면 위에서의 범위 추정도 증명된다. 세 부분합을 전개하고, 아래와 같이 항을 괄호로 조금씩 묶어 전개식 하나당 {{수학|''k'' + 1}}개의 묶음을 만들어서, 같은 위치의 묶음끼리 비교하면 (예를 들어 셋째 열에서, {{mvar|a<sub>n</sub>}}이 감소함에 따라 {{수학|''a''<sub>4</sub> + ''a''<sub>5</sub> + ''a''<sub>6</sub> + ''a''<sub>7</sub>}} {{수학|≤ ''a''<sub>4</sub> + ''a''<sub>4</sub> + ''a''<sub>4</sub> + ''a''<sub>4</sub>}} {{수학|≤ ''a''<sub>3</sub> + ''a''<sub>3</sub> + ''a''<sub>4</sub> + ''a''<sub>4</sub>}}) 부분합에 관한 부등식은 증명된다.

:<math>\begin{matrix}
    &    a_1    & + & (a_2+a_3) & + & (a_4+a_5+a_6+a_7) & + & \cdots \\
\le &    a_1    & + & (a_2+a_2) & + & (a_4+a_4+a_4+a_4) & + & \cdots \\
\le & (a_1+a_1) & + & (a_2+a_2) & + & (a_3+a_3+a_4+a_4) & + & \cdots \\
\end{matrix}</math>

== 예 ==
코시 응집판정법은 <math>n</math>이 분모에 있는 경우에 유용하다. 전형적인 예인 [[조화급수]] <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}</math>의 수렴 여부는 <math>\textstyle \sum 1</math>가 발산함에 따라 쉽게 드러난다.

조금 더 복잡한 예로, 급수

:<math>\sum_{n=m}^{\infty} \frac{1}{n^{p_0} (\ln n)^{p_1} (\ln\ln n)^{p_2} \cdots (\underbrace{\ln\ln\cdots\ln}_k n)^{p_k}}</math>

가 수렴할 필요충분조건은 1이 아닌 지수가 있고 처음으로 오는 1이 아닌 지수가 1보다 크다는 것이다. 즉 급수는 사전식 순서대로 {{수학|(''p''<sub>0</sub>, ..., ''p''<sub>k</sub>) > (1, ..., 1)}}일 때 수렴, {{수학|(''p''<sub>0</sub>, ..., ''p''<sub>k</sub>) ≤ (1, ..., 1)}}일 때 발산한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{SpringerEOM|title=Cauchy test}}

[[분류:수렴판정법]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]