코시 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|코시-슈바르츠 부등식|정칙 함수가 만족시키는 부등식|내적 공간에서 성립하는 부등식}}
[[복소해석학]]에서 '''코시 부등식'''(-不等式, {{llang|en|Cauchy's inequality}}) 또는 '''코시 추정'''(-推定, {{llang|en|Cauchy's estimate}})은 [[정칙 함수]]의 [[테일러 급수]] 계수의 상계를 제시하는 부등식이다.

== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 [[정칙 함수]] <math>f\colon D\to\mathbb C</math>가 주어졌다고 하자. '''코시 부등식'''에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수 <math>n</math> 및 <math>z_0\in D</math> 및 <math>0<r<d(z_0,\partial D)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{r^n}\sup_{|z-z_0|=r}|f(z)|</math>
여기서
:<math>d(z_0,\partial D)=\inf_{z\in\partial D}|z-z_0|</math>
이다.

== 증명 ==
코시 부등식은 [[코시 적분 공식]]으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다.
:<math>\begin{align}|f^{(n)}(z_0)|
&=\left|\frac{n!}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm dz\right|\\
&\le\frac{n!}{2\pi}\int_{|z-z_0|=r}\frac{|f(z)|}{|z-z_0|^{n+1}}\left|\mathrm dz\right|\\
&\le\frac{n!}{2\pi r^{n+1}}\cdot\sup_{|z-z_0|=r}|f(z)|\cdot\int_{|z-z_0|=r}|\mathrm dz|\\
&=\frac{n!}{r^n}\sup_{|z-z_0|=r}|f(z)|
\end{align}</math>

== 따름정리 ==
=== 콤팩트 집합 위의 부등식 ===
연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 <math>n</math> 및 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq D</math> 및 <math>z_0\in K</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|102, §3.5, 정리2}}
:<math>|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{d(K,\partial D)^n}\sup_{z\in D}|f(z)|</math>
여기서
:<math>d(K,\partial D)=\inf_{z\in K,\;z'\in\partial D}|z-z'|</math>
이다.

이는 코시 부등식에 의하여, 임의의 <math>0<r<d(K,\partial D)\le d(z_0,\partial D)</math>에 대하여
:<math>|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{r^n}\sup_{|z-z_0|=r}|f(z)|\le\frac{n!}{r^n}\sup_{z\in D}|f(z)|</math>
이므로,
:<math>|f^{(n)}(z_0)|\le\lim_{r\to d(K,\partial D)^-}\frac{n!}{r^n}\sup_{z\in D}|f(z)|=\frac{n!}{d(K,\partial D)^n}\sup_{z\in D}|f(z)|</math>
이기 때문이다.

=== 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질 ===
연결 열린 집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 정칙 함수열 <math>f_n\colon D\to\mathbb C</math>가 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>로 [[콤팩트 수렴]]한다고 하자. (이 경우 <math>f</math>는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>f_n^{(k)}</math> 역시 <math>f^{(k)}</math>로 콤팩트 수렴한다.

임의의 콤팩트 집합 <math>K\subseteq D</math>를 취하자. 그렇다면,
:<math>\tilde K=\{z\in D\colon d(z,K)\le d(K,\partial D)/2\}</math>
역시 콤팩트 집합이므로, <math>f_n</math>은 <math>\tilde K</math>에서 <math>f</math>로 균등 수렴한다. 또한, 코시 부등식에 의하여, 임의의 <math>z\in K</math>에 대하여,
:<math>|f_n^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\le\frac{k!}{d(K,\partial\tilde K)^k}\sup_{z\in\tilde K}|f_n(z)-f(z)|</math>
이다. 따라서, <math>f_n^{(k)}</math>는 <math>K</math>에서 <math>f^{(k)}</math>로 균등 수렴한다.

=== 리우빌 정리 ===
[[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]에 따르면, 모든 [[유계 함수|유계]] [[전해석 함수]]는 [[상수 함수]]이다.

유계 전해석 함수 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 코시 부등식에 의하여, 임의의 <math>z_0\in\mathbb C</math> 및 <math>r>0</math>에 대하여,
:<math>|f'(z_0)|\le\frac 1r\sup_{z\in\mathbb C}|f(z)|</math>
이므로,
:<math>|f'(z_0)|\le\lim_{r\to 0^+}\frac 1r\sup_{z\in\mathbb C}|f(z)|=0</math>
이다. 즉, 임의의 <math>z_0\in\mathbb C</math>에 대하여, <math>f'(z_0)=0</math>이며, 따라서 <math>f</math>는 상수 함수이다.

== 역사 ==
[[프랑스]]의 수학자 [[오귀스탱 루이 코시]]가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007

== 외부 링크 ==
* {{eom
|id=Cauchy_Schwarz_inequality#The_Cauchy_inequality_for_the_modulus_of_a_regular_analytic_function
|title=The Cauchy inequality for the modulus of a regular analytic function
}}

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:부등식]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]