코시 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[복소해석학]]에서 '''코시 변환'''({{llang|en|Cauchy transform}}) 또는 '''코시형 적분'''(-型積分, {{llang|en|Cauchy-type integral}})은 [[코시 적분 공식]]에 등장하는 [[적분 변환]]이다.

== 정의 ==
조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C</math> 위에 정의된 [[연속 함수]] <math>\varphi\colon\gamma([a,b])\to\mathbb C</math>의 '''코시 변환''' 상 <math>\mathcal Cf</math>는 다음과 같은 함수이다.
:<math>\mathcal Cf\colon\mathbb C\setminus\gamma([a,b])\to\mathbb C</math>
:<math>\mathcal Cf(w)=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{z-w}\mathrm dz\qquad\forall w\in\mathbb C\setminus\gamma([a,b])</math>

== 성질 ==
조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C</math> 위에 정의된 연속 함수 <math>f\colon\gamma([a,b])\to\mathbb C</math>의 코시 변환 상 <math>\mathcal Cf\colon\mathbb C\setminus\gamma([a,b])\to\mathbb C</math>는 [[정칙 함수]]이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수 <math>n</math> 및 <math>w\in\mathbb C\setminus\gamma([a,b])</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>(\mathcal Cf)^{(n)}(w)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}\mathrm dz</math>
{{증명|각주=<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|89}}
}}
임의의 <math>w\in\mathbb C\setminus\gamma([a,b])</math> 및 <math>w'\in\operatorname B(w,d(w,\gamma([a,b]))/2)</math>를 취하자. 그렇다면, 임의의 <math>z\in\gamma([a,b])</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}\frac 1{z-w'}
&=\frac 1{z-w}\cdot\frac 1{1-(w'-w)/(z-w)}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(w'-w)^n}{(z-w)^{n+1}}
\end{align}</math>
이다. 이 급수는
:<math>\frac{(w'-w)^n}{(z-w)^{n+1}}\le\frac 1{d(w,\gamma([a,b]))}\cdot\frac 1{2^n}</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac 1{d(w,\gamma([a,b]))}\cdot\frac 1{2^n}<\infty</math>
이므로 <math>z\in\gamma([a,b])</math>에서 [[균등 수렴]]한다. 따라서,
:<math>(\mathcal Cf)(w')=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{z-w'}\mathrm dz=\frac 1{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty(w'-w)^n\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}\mathrm dz</math>
이다. 즉, <math>\mathcal Cf</math>는 <math>w</math>에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여,
:<math>\frac{(\mathcal Cf)^{(n)}(w)}{n!}=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}\mathrm dz</math>
가 성립한다.
{{증명 끝}}

[[유계 집합|유계]] [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''[[코시 적분 공식]]'''에 따르면, <math>f|_{\partial D}</math>의 코시 변환 상은
:<math>\mathcal Cf\colon\mathbb C\setminus\partial D\to\mathbb C</math>
:<math>\mathcal Cf(w)=\begin{cases}
f(w)&w\in D\\
0&w\not\in D
\end{cases}\qquad\forall w\in\mathbb C\setminus\partial D</math>
이다.

== 예 ==
(양의 방향을 갖는) 곡선<ref name="Zhdanov">{{서적 인용
|성=Zhdanov
|이름=Michael S.
|제목=Integral Transforms in Geophysics
|언어=en
|판=2
|출판사=Springer-Verlag
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1988
|isbn=978-3-642-72630-9
|doi=10.1007/978-3-642-72628-6
}}</ref>{{rp|5-6}}
:<math>\partial\operatorname B(0,2)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=2\}</math>
위의 연속 함수
:<math>f\colon\partial\operatorname B(0,2)\to\mathbb C</math>
:<math>f(z)=\frac 1{(z-i)(z-3i)}\qquad\forall z\in\varphi\colon\partial\operatorname B(0,2)</math>
에 대한 코시 변환 상은
:<math>\mathcal Cf\colon\mathbb C\setminus\partial\operatorname B(0,1)\to\mathbb C</math>
:<math>\mathcal Cf(w)=\begin{cases}
1/(w-3i)&w\in\operatorname B(0,1)\\
1/2i(w-i)&w\not\in\operatorname B(0,1)
\end{cases}
\qquad\forall w\in\mathbb C\setminus\partial\operatorname B(0,1)</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:적분 변환]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]