코시 곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미적분학]]에서, 두 [[급수 (수학)|급수]]의 '''코시 곱'''({{llang|en|Cauchy product}})은 두 급수의 곱으로 수렴하는 급수의 하나다. 두 급수의 [[합성곱]]을 항으로 한다.

== 정의 ==
두 [[복소수 항 급수]] <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> 및 <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>의 '''코시 곱'''은 다음과 같은 급수다.
:<math>\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}
&=\sum_{n=0}^\infty(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0)\\
&=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+\cdots
\end{align}</math>
두 급수의 항의 곱을 무한한 행렬
:<math>\begin{matrix}
a_0b_0&a_0b_1&a_0b_2&\cdots\\
a_1b_0&a_1b_1&a_1b_2&\cdots\\
a_2b_0&a_2b_1&a_2b_2&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots
\end{matrix}
</math>
위에 배열하였을 때, 코시 곱의 <math>n</math>번째 항은 (오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는) <math>n</math>번째 대각선 성분들의 합이다.

== 성질 ==
=== 합 ===
만약 두 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>, <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>와 코시 곱 <math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}</math>이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.<ref name="Knopp"/>{{rp|321, Theorem of Abel}}
:<math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}=\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)</math>
이는 [[아벨 극한 정리]]를 통해 보일 수 있으며, [[닐스 헨리크 아벨]]이 처음 증명하였다.

=== 수렴할 충분조건 ===
'''메르텐스 정리'''({{llang|en|Mertens' theorem}})에 따르면, 임의의 두 수렴급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>, <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>에 대하여, 만약 적어도 하나가 [[절대 수렴]]한다면, 코시 곱은 수렴한다.<ref name="Knopp">{{서적 인용|성=Knopp|이름=Konrad|번역자-성=Young|번역자-이름=R. C. H.|제목=Theory and application of infinite series|언어=en|판=2|기타=Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young.|출판사=Blackie & Son|위치=[[런던]]-[[글래스고]]|날짜=1951|zbl=0042.29203}}</ref>{{rp|321, Theorem of Mertens}}
{{증명}}
편의상 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>이 [[절대 수렴]]한다고 가정하자. 다음과 같이 쓰자.
:<math>A_n=\sum_{k=0}^na_k,\;B_n=\sum_{k=0}^nb_k,\;C_n=\sum_{k=0}^nc_k,\;c_n=\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k</math>
:<math>A=\sum_{n=0}^\infty a_n,\;B=\sum_{n=0}^\infty b_n</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}C_n
&=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)+\cdots+(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0)\\
&=a_0B_n+a_1B_{n-1}+\cdots+a_nB_0\\
&=a_0B+a_1B+\cdots+a_nB+a_0(B_n-B)+a_1(B_{n-1}-B)+\cdots+a_n(B_0-B)\\
&=A_nB+a_0(B_n-B)+a_1(B_{n-1}-B)+\cdots+a_n(B_0-B)
\end{align}</math>
정리의 가정에 의하여, 다음과 같이 정의한 <math>A',M\ge 0</math>은 유한한 수이다.
:<math>A'=\sum_{n=0}^\infty|a_n|</math>
:<math>M=\sup\{|B_0-B|,|B_1-B|,\dots\}</math>
임의의 <math>\epsilon>0</math>을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 <math>n'\in\{0,1,\dots\}</math>이 존재한다.
* 모든 <math>n\in\{n'+1,n'+2,\dots\}</math>에 대하여, <math>|B_n-B|<\frac\epsilon{2(A'+1)}</math>
* 모든 <math>n\in\{n'+1,n'+2,\dots\}</math>에 대하여, <math>\sum_{k=n}^\infty|a_n|<\frac\epsilon{2(M+1)}</math>
따라서, 모든 <math>n\in\{2n'+1,2n'+2,\dots\}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}|C_n-A_nB|
&\le|a_0||B_n-B|+\cdots+|a_{n'}||B_{n-n'}-B|+|a_{n'+1}||B_{n-n'-1}-B|+\cdots+|a_n||B_0-B|\\
&\le\frac\epsilon{2(A'+1)}\sum_{k=0}^{n'}|a_k|+M\sum_{k=n'+1}^n|a_k|\\
&<\epsilon
\end{align}</math>
즉, <math>C_n</math>은 <math>AB</math>로 수렴하며, 정리의 결론이 성립한다.
{{증명 끝}}

=== 절대 수렴할 충분조건 ===
임의의 두 [[절대 수렴 급수]] <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>, <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math> 및 임의의 [[전단사 함수]] <math>\sigma\colon\mathbb N\to\mathbb N\times\mathbb N</math>에 대하여, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma_1(n)}b_{\sigma_2(n)}</math>
는 [[절대 수렴]]하며,
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma_1(n)}b_{\sigma_2(n)}=\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)</math>
이다. 특히, 두 [[절대 수렴 급수]]의 코시 곱은 [[절대 수렴]]한다.

== 예 ==
두 복소수 계수 [[멱급수]] <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n</math> 및 <math>\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n</math>의 코시 곱
:<math>\sum_{n=0}^\infty(x-a)^n\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k</math>
은 통상적인 곱과 일치한다.

=== 코시 곱이 발산하는 두 수렴급수 ===
급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}</math>
는 [[교대급수 판정법]]에 따라 수렴한다. 이 급수의 스스로와의 코시 곱
:<math>\sum_{n=2}^\infty c_n</math>
을 생각하자. 임의의 <math>n\in\{2,3,4,\dots\}</math>에 대하여,
:<math>c_n=(-1)^n\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sqrt{k(n-k)}}</math>
이므로
:<math>\begin{align}
|c_n|
&=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sqrt{k(n-k)}}\\
&\ge\sum_{k=1}^{n-1}\frac2n\\
&=\frac{2(n-1)}n\\
&\ge1
\end{align}
</math>
이다. 따라서, 코시 곱은 발산한다.

== 역사 ==
[[프랑스]]의 수학자 [[오귀스탱 루이 코시]]의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Absolutely convergent series}}
* {{매스월드|id=CauchyProduct|title=Cauchy product}}
* {{플래닛매스|urlname=cauchyproduct|제목=Cauchy product}}

[[분류:급수]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]