코시-아다마르 정리 문서 원본 보기

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'''코시-아다마르 정리'''(Cauchy-Hadamard theorem, -定理)는 [[해석학 (수학)|해석학]]의 기초적인 [[정리]]로, [[거듭제곱 급수]]의 수렴 반경에 대한 정보를 제공한다. [[프랑스]]의 [[수학자]] [[오귀스탱 루이 코시]]와 [[자크 아다마르]]의 이름이 붙어 있다.

== 공식화 ==
코시-아다마르 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}</ref>{{rp|73}} 적당한 [[복소수]] [[수열]] {c<sub>n</sub>}에 대해, 다음의 거듭제곱 급수

: <math>\sum_{k=1}^{\infty} c_kz^k</math>

의 수렴 반경 R은 다음 식으로 주어진다.

: <math>\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}</math>

== 증명 ==
<math>a_n := c_nz^n</math>으로 두고 [[근 판정법]]을 적용하면 다음과 같이 바로 증명할 수 있다.<ref name="Rudin"/>

: <math>\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |z| \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \frac{|z|}{R}.</math>

== 따름정리 ==
극한의 계산을 편하게 할 수 있는 따름정리를 곧바로 유도할 수 있다. 수열의 비와 근 사이에 성립하는 다음의 일반적인 [[부등식]]<ref name="Rudin" />{{rp|68}}을 보면,

: <math>\liminf_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}| \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} \le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} \le \limsup_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|</math>

다음 극한이 존재할 경우,

: <math>\lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|</math>

위 부등식에서 바깥의 두 [[상극한]]과 [[하극한]]이 같아져서 네 식이 모두 같아지므로 코시-아다마르 정리에 의해 다음이 성립한다.

: <math>\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|.</math>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:급수]]