코르테버흐-더프리스 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:KdV equation.gif|섬네일|오른쪽|코르테버흐-더프리스 방정식 <math>u_t+uu_x+\delta^2 u_{xxx}</math>의 수치해 (<math>\delta = 0.022</math>, <math>u(x,t=0) = \cos(\pi x)</math>)]]
[[수학]]에서 '''코르테버흐-더프리스 방정식'''({{llang|en|Korteweg–de Vries equation}}, '''KdV 방정식''')은 옅은 [[수면파]]를 나타내는 비선형 [[편미분 방정식]]이다.<ref>{{서적 인용|mr=0716135|last= Drazin|first= P. G.|title= Solitons|series= London Mathematical Society Lecture Note Series|권= 85|publisher= Cambridge University Press|year= 1983|isbn= 0-521-27422-2|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last=Kappeler | first=Thomas | 이름2=Jürgen |성2= Pöschel | title=KdV & KAM | publisher=Springer-Verlag | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | 권=45 | isbn=978-3-540-02234-3 | mr=1997070 | 날짜=2003 |doi=10.1007/978-3-662-08054-2|언어=en}}</ref> [[적분가능계]]의 하나다.

== 정의 ==
코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수 <math>u(x,t)</math>에 대한 3차 비선형 [[편미분 방정식]]이며, 다음과 같다.
:<math>u_t+u_{xxx}=6uu_x</math>
계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실, <math>(t,x,u)</math>에 서로 다른 상수를 곱하여, 코르테버흐-더프리스 방정식의 세 항의 계수들을 각각 임의의 0이 아닌 수로 놓을 수 있다.

=== 라그랑지언 형태 ===
다음과 같은 [[라그랑지언]] 밀도의 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 생각하자.
:<math>\mathcal L = \frac12f_xf_t +f_x^3 - \frac12f_{xx}^2</math>
여기에
:<math>u = f_x</math>
로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다.

== 성질 ==
=== 대칭 ===
코르테버흐-더프리스 방정식은 변환
:<math>x \mapsto -x</math>
:<math>t \mapsto -t</math>
:<math>u \mapsto u</math>
에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해 <math>u(t,x)</math>가 주어졌을 때, <math>u(-t,-x)</math> 역시 코르테버흐-더프리스 방정식의 해이다.

=== 럭스 쌍 ===
코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 [[럭스 쌍]]을 가진다.
:<math>L=-\partial_x^2+u</math>
:<math>P=6u\partial_x+3u_x-4u_x^3</math>
즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식
:<math>L_t=[P,L]</math>
으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 [[적분가능계]]임을 알 수 있다.

=== 운동 상수 ===
코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 [[운동 상수]]를 갖는다. 구체적으로, 변수 <math>u(x,t)</math>에 대하여 다음과 같은 다항식들을 생각하자.
:<math>P_n \in \mathbb Z\left[u, u_x, u_{xx}, \dotsc, \frac{\partial^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}\right]</math>
:<math>P_1 = u</math>
:<math>P_{n+1} = - \frac\partial{\partial x}P_n +  \sum_{i=1}^{n-2}P_iP_{n-1-i}</math>
그렇다면, 임의의 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 다음 적분은 코르테버흐-더프리스 방정식의 운동 상수를 이룬다.
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} P_n\left(u,u_x,u_{xx},\dotsc\right)\,\mathrm dx</math>
다만, 만약 <math>n</math>이 짝수일 때 이는 항상 0이다. 그러나 <math>n</math>이 홀수일 때 이는 0이 아니다.

낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! 차수 <math>n</math> !! 운동 상수 <math>P_n</math> !! 설명
|-
| 1 || <math>\textstyle\int u</math> || 질량
|-
| 2 || <math>\textstyle\int (-u_x) = 0</math>
|-
| 3 || <math>\textstyle\int (u_{xx}+u^2) = \int u^2</math> || 운동량
|-
| 4 || <math>\textstyle\int (-u_{xxx}-4uu_x) = 0</math>
|-
| 5 || <math>\textstyle\int (u_{xxxx}+5u_x^2+6uu_{xx}+2u^3) = \int (2u^3-u_x^2)</math> || 에너지
|}

=== 솔리톤 해 ===
코르테버흐-더프리스 방정식은 [[솔리톤]] 해를 갖는다. 이러한 해의 [[가설 풀이]]는
:<math>u(t,x) = u(x-ct)\qquad(c\in\mathbb R)</math>
의 꼴이다. 여기서 <math>c</math>는 솔리톤의 [[속도]]이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,
:<math>\lim_{\xi\to+\infty}u(\xi) = \lim_{\xi\to -\infty}u(\xi) = 0</math>
이다.

이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 [[상미분 방정식]]을 얻는다. (여기서 윗점은 <math>\xi=x-ct</math>에 대한 미분이다.)
:<math>-c\dot u+\overset{\mathbf{...}} u-6u\dot u = 0</math>
양변을 <math>\xi</math>에 대하여 적분하여 2차 [[상미분 방정식]]을 얻을 수 있다.
:<math>-cu+\ddot u-3u^2=A</math>
여기서 <math>A</math>는 [[적분 상수]]이다. 이는 다음과 같은 [[라그랑지언]]의 [[오일러-라그랑주 방정식]]이다.
:<math>L(u,\dot u) = \frac12 \dot u^2 + u^3 + \frac12cu^2+Au</math>
이는 [[퍼텐셜]]
:<math>V(u) = - u^3 - \frac12 cu^2 - Au</math>
속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 [[가설 풀이]]를 만족시키려면, <math>u(\pm\infty) = 0</math>이어야 한다. 이는 입자가 퍼텐셜의 국소 극대점에서 <math>\xi=-\infty</math>에서 시작하여, 퍼텐셜의 반대 벽을 기어오른 뒤, 다시 원래 국소 극대점으로 <math>\xi=+\infty</math>에 도달하는 것에 해당한다. 이는 <math>A = 0</math>이며 <math>c>0</math>일 때에만 가능하다.

이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다.
:<math>u(x,t)=-\frac12c\left(\cosh\left(\frac12\sqrt c(x-ct-x_0)\right)\right)^{-2}</math>
여기서 <math>x_0</math>는 초기 조건 <math>t=0</math>에서 솔리톤의 위치이다.

== 역사 ==
조제프 발랑탱 부시네스크({{llang|fr|Joseph Valentin Boussinesq}} {{IPA2|ʒɔzɛf valɑ̃tɛ̃ businɛsk}})가 1877년에 최초로 발견하였다.<ref>{{저널 인용|last=Boussinesq|first= J.|title= Essai sur la théorie des eaux courantes|저널= Memoires presentes par divers savants à l’Académie Royale des Sciences de l’Institut national de France |권= 23|pages= 1–680|year=1877|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56673076|언어=fr}}</ref>{{rp|360, 주석}}<ref>{{저널 인용 | first=E.M. |last=de Jager | year=2006 | arxiv=math/0602661 | title= On the origin of the Korteweg–de Vries equation }}
</ref> 이를 1895년에 연구한 디데릭 요하너스 코르테버흐({{llang|nl|Diederik Johannes Korteweg}})와 귀스타브 더프리스({{llang|nl|Gustav de Vries}})의 이름을 땄다.<ref>{{저널 인용|first=Diederik Johannes|last= Korteweg|이름2=Gustav|성2=de Vries|title=On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves|journal=Philosophical Magazine|volume=39|issue=240|pages= 422–443|year= 1895|doi=10.1080/14786449508620739}}</ref><ref>{{저널 인용
| doi = 10.1017/S0022112081001559
| volume = 106
| year = 1981
| pages = 131–147
| last = Miles
| first = John W.
| title = The Korteweg–De Vries equation: A historical essay
| url = https://archive.org/details/sim_journal-of-fluid-mechanics_1981-05_106/page/131
| journal = Journal of Fluid Mechanics
|bibcode = 1981JFM...106..131M}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Korteweg-de Vries equation }}
* {{매스월드|id=Korteweg-deVriesEquation|title=Korteweg-de Vries Equation}}
* {{nlab|id=Korteweg de Vries equation}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:유체역학 방정식]]
[[분류:적분가능계]]