켤레 복소수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Complex conjugate picture.svg|섬네일|[[복소평면]]에서의 복소수 ''z''와 그 켤레복소수 {{overset|—|''z''}}]]

[[수학]]에서 '''켤레 복소수'''(-複素數, {{llang|en|complex conjugate}}) 또는 '''공액 복소수'''(共軶複素數) 또는 '''복소 켤레''' 또는 '''공액 켤레'''는 [[복소수]]의 [[허수부]]에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 다시 말해, [[편각 (수학)|편각]]에 [[덧셈 역원]]을 취하여 얻는 복소수이다. [[복소평면]] 위에서, 서로 켤레인 두 복소수는 ''x''축에 의하여 대칭이다. 복소수 <math>z</math>의 켤레 복소수의 기호는 <math>\bar z</math> 또는 <math>z^*</math>이다.

== 정의 ==
복소수의 '''켤레 복소수'''는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\overline{x+iy}=x-iy\qquad x,y\in\mathbb R</math>
[[극 형식]]으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}\qquad r,\theta\in\mathbb R,\;r\ge0</math>
켤레 복소수의 기호 <math>\bar z</math>는 [[켤레 전치]]의 기호 <math>A^*</math>와의 혼동을 피하려고 할 때 선호된다. 켤레 복소수의 또 하나의 기호 <math>z^*</math>는 [[물리학]]에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히 <math>A^\dagger</math>를 사용한다.

== 성질 ==
=== 항등식 ===
켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수 <math>z,w</math>에 대하여,
* <math>\operatorname{Re}z=(z+\bar z)/2</math>
* <math>\operatorname{Im}z=(z-\bar z)/(2i)</math>
* <math>|z|=\sqrt{z\bar z}</math>
* <math>\operatorname{arg}z=(1/(2i))\ln\frac z\bar z\qquad z\ne0</math>
* ([[덧셈 군]] [[자기 준동형]]) <math>\overline{z+w}=\bar z+\bar w</math>
* ([[덧셈 군]] [[자기 준동형]]) <math>\overline{z-w}=\bar z-\bar w</math>
* ([[체 (수학)|체]] [[자기 동형]]) <math>\overline{zw}=\bar z\bar w</math>
* ([[체 (수학)|체]] [[자기 동형]]) <math>\overline{(z/w)}=\bar z/\bar w</math>
* (<math>\mathbb C/\mathbb R</math> [[자기 동형]]) <math>\bar z=z\iff z\in\mathbb R</math>
* ([[대합 (수학)|대합]]) <math>\bar\bar z=z</math>
* ([[노름]] [[자기 동형]]) <math>|\bar z|=|z|</math>
* <math>\operatorname{arg}\bar z=-\operatorname{arg}z</math>
* <math>\operatorname{Re}\bar z=\operatorname{Re}z</math>
* <math>\operatorname{Im}\bar z=-\operatorname{Im}z</math>

=== 켤레근 정리 ===
[[정칙 함수]] <math>f</math>가 만약 <math>f(\mathbb R)\subseteq\mathbb R</math>를 만족시킨다면, 임의의 복소수 <math>z</math>에 대하여, <math>\overline{f(z)}=f(\bar z)</math>가 성립한다. 특히, <math>f(x)\in\mathbb R[x]</math>인 경우, 만약 <math>f(z)=0</math>이라면 <math>f(\bar z)=0</math>이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 '''켤레근 정리'''(-根定理, {{llang|en|complex conjugate root theorem}})라고 한다.

=== 체론적 성질 ===
켤레 복소수 함수는 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)</math>의 유일한 비자명 원소이다.

== 관련 개념 ==
=== 행렬의 경우 ===
행렬 <math>A</math>의 경우, 그 원소별 켤레 복소수를
:<math>\bar A</math>
로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>(\bar A)_{ij}=\overline{A_{ij}}</math>
또한, [[켤레 전치]]는 다음과 같이 정의된다.
:<math>A^*=(\bar A)^\operatorname T=\overline{A^\operatorname T}</math>
즉, 다음과 같다.
:<math>(A^*)_{ij}=\overline{A_{ji}}</math>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complex conjugate}}
* {{매스월드|id=ComplexConjugate|title=Complex conjugate}}
* {{플래닛매스|urlname=ComplexConjugate|title=Complex conjugate}}

[[분류:복소수]]