케일리-해밀턴 정리 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''케일리-해밀턴 정리'''({{llang|en|Cayley–Hamilton theorem}})는 [[정사각 행렬]]이 자기 자신의 [[특성 방정식]]을 만족시킨다는 정리이다. [[아서 케일리]]와 [[윌리엄 로언 해밀턴]]의 이름에서 따왔다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 [[특성 다항식]]을
:<math>p(x)=\det(x-M)=\sum_{k=0}^np_kx^k\in K[x]</math>
라고 하자. 여기서 <math>\det</math>는 [[행렬식]]이다. '''케일리-해밀턴 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>{{rp|194, §6.4, Theorem 4}}
:<math>p(M)=\sum_{k=0}^np_kM^k=0</math>
특히, <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 경우 <math>M</math>의 [[최소 다항식]]은 특성 다항식의 [[약수]]이다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|194, §6.4, Theorem 4}}

== 증명 ==
=== 행렬식을 통한 증명 ===
가환환
:<math>K[M]=\{q(M)\colon q\in K[x]\}\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)</math>
위의 <math>n\times n</math> 행렬
:<math>N\in\operatorname{Mat}(n;K[M])</math>
:<math>N_{ij}=\delta_{ij}M-M_{ij}\in K[M]</math>
을 생각하자. 여기서 <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다. [[열벡터]]의 공간 <math>K^n</math>의 표준 기저를 <math>\{e_1,\dots,e_n\}</math>라고 하고, <math>N</math>의 [[고전적 수반 행렬]]을 <math>\operatorname{adj}N</math>라고 하자. 그렇다면,
:<math>\sum_{j=1}^nN_{ij}e_j=0</math>
:<math>((\operatorname{adj}N)N)_{kj}=\delta_{kj}\det N</math>
:<math>\det N=p(M)</math>
이다. 따라서 임의의 <math>k\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}0
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(\operatorname{adj}N)_{ki}N_{ij}e_j\\
&=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n(\operatorname{adj}N)_{ki}N_{ij}e_j\\
&=\sum_{j=1}^n((\operatorname{adj}N)N)_{kj}e_j\\
&=\sum_{j=1}^n\delta_{kj}(\det N)e_j\\
&=(\det N)e_k\\
&=p(M)e_k
\end{align}</math>
이다. 즉, <math>p(M)=0</math>이다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|194-196, §6.3}}

=== 삼각화를 통한 증명 ===
만약 <math>K</math>가 [[정역]]일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 <math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. (만약 아닐 경우 <math>K</math>의 [[분수체]]의 [[대수적 폐포]]를 취하면 된다.)

우선, <math>M</math>이 [[상삼각 행렬]]이라고 하자. 그렇다면, <math>M</math>의 최소 다항식은
:<math>p(x)=(x-M_{11})\cdots(x-M_{nn})</math>
이다. <math>M-M_{11}</math>은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, <math>(M-M_{11})(M-M_{22})</math>는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 <math>p(M)=0</math>을 얻는다.

이제, <math>M</math>이 일반적인 행렬이라고 하자. <math>K</math>가 대수적으로 닫힌 체이므로, <math>M</math>의 최소 다항식 <math>p(x)</math>는 <math>K</math>에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 <math>M</math>은 <math>K</math>에서 [[삼각화 가능 행렬]]이다. <math>G^{-1}MG</math>가 상삼각 행렬이 되는 [[가역 행렬]] <math>G\in\operatorname{GL}(n;K)</math>를 취하자. 그렇다면 <math>G^{-1}MG</math>의 최소 다항식 역시 <math>p(x)</math>이므로,
:<math>p(M)=Gp(G^{-1}MG)G^{-1}=0</math>
이다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|204-205, §6.4}}

== 예 ==
=== 행렬의 거듭제곱 ===
''A'' 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.
:<math>A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}, I_2 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}, I_2^2 = I_2, \; A \cdot I_2= A \;\;\because I_2</math>는 [[단위행렬]](곱셈의 항등원)
이때 특성 다항식은 다음과 같다.
:<math>p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2</math>
케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.
:<math>A^2-5A-2I_2=0</math>
실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.
:<math>A^2-5A-2I_2=0</math>
:<math>A^2=5A+2I_2</math>
위의 식을 통해 ''A''<sup>4</sup>을 계산하면 다음과 같다.
:<math>A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2</math>
:<math>A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A</math>
:<math>A^4=145A+54I_2</math>

=== 2 × 2 역행렬 ===
:<math>A^{-1}=\frac{A-5I_2}{2}~.</math>

=== 3 × 3 역행렬 ===
:<math>A =
\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 1 \\
    2 & 1 & 3 \\
    3 & 2 & 3 \\
  \end{bmatrix}</math>
:<math>A^{-1}=\frac{A^2-5A-6I_3}{4}~.</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cayley-Hamilton theorem}}

[[분류:선형대수학 정리]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:윌리엄 로언 해밀턴]]