케일리-멩거 행렬식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''케일리-멩거 행렬식'''(-行列式, {{llang|en|Cayley–Menger determinant}})은 [[단체 (수학)|단체]]의 초부피를 나타내는 데 쓰이는 [[행렬식]]이다.

== 정의 ==
음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>n</math>번째 '''케일리-멩거 행렬식''' <math>M_n</math>은 다음과 같은 <math>(n+2)\times(n+2)</math> 행렬식으로 나타낸 <math>\textstyle\frac{n(n+1)}2</math>변수 다항식이다.<ref name="D’Andrea">{{저널 인용
|성1=D’Andrea
|이름1=C.
|성2=Sombra
|이름2=M.
|제목=The Cayley-Menger determinant is irreducible for n ≥ 3
|언어=en
|저널=Siberian Mathematical Journal
|권=46
|호=1
|쪽=71-76
|날짜=2005-01
|issn=0037-4466
|doi=10.1007/s11202-005-0007-0
}}</ref>{{rp|71}}
:<math>M_n(x_{ij}\colon 0\le i<j\le n)=\begin{vmatrix}
0         &1               &1                &1           &\cdots&1                \\
1         &0               &x_{01}^2     &x_{02}^2&\cdots&x_{0n}^2\\
1         &x_{01}^2    &0                &x_{12}^2&\cdots&x_{1n}^2\\
1         &x_{02}^2    &x_{12}^2     &0           &\cdots&x_{2n}^2\\
\vdots&\vdots       &\vdots       &\vdots  &          &\vdots       \\
1         &x_{0n}^2&x_{1n}^2&x_{2n}&\cdots&0
\end{vmatrix}</math>

== 성질 ==
케일리-멩거 행렬식 <math>M_n</math>은 [[대칭 다항식]]이다. 즉, 변수의 순열에 대하여 불변이다.

[[환의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] 위에서, 케일리-멩거 행렬식 <math>M_n</math>는 <math>2n</math>차 [[동차 다항식]]이다.<ref name="Hajja">{{저널 인용
|성1=Hajja
|이름1=Mowaffaq
|성2=Hayajneh
|이름2=Mostafa
|성3=Nguyen
|이름3=Bach
|성4=Shaqaqha
|이름4=Shadi
|제목=Irreducibility of the Cayley–Menger determinant and of a class of related polynomials
|언어=en
|저널=Beitr Algebra Geom
|권=59
|호=2
|쪽=327–342
|날짜=2018-06
|issn=0138-4821
|doi=10.1007/s13366-017-0369-z
}}</ref>{{rp|339-340}}

표수가 2가 아닌 체 위에서, 케일리-멩거 행렬식 <math>M_n</math>이 [[기약 다항식]]일 필요충분조건은 <math>n\ne 2</math>이다.<ref name="Hajja" />{{rp|339-340}}

꼭짓점 <math>v_0,\dots,v_n</math>를 갖는 <math>\mathbb R^n</math> 속 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]] <math>S</math>의 <math>n</math>차원 초부피 <math>\operatorname{Vol}_n(S)</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Vol}_n(S)^2=\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2}M_n(\Vert v_i-v_j\Vert\colon 0\le i<j\le n)</math>
우변의 계수의 <math>n=0,1,2,\dots</math>번째 값은 다음과 같다.
:-1, 2, -16, 288, -9216, 460800, ... {{OEIS|A055546}}

== 역사 ==
[[아서 케일리]]와 [[카를 멩거 (수학자)|카를 멩거]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[유클리드 공간]]
* [[단체 (수학)]]
* [[헤론 공식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Cayley-MengerDeterminant|title=Cayley-Menger determinant}}
* {{웹 인용
|url=http://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.html
|제목=Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant
|웹사이트=MathPages
}}{{깨진 링크|url=http://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.html }}

[[분류:행렬]]
[[분류:계량기하학]]