칼손의 부등식 문서 원본 보기

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'''칼손의 부등식'''(Carlson's inequality, -不等式)은 [[스웨덴]] 수학자 [[프리츠 다비드 칼손]](Fritz David Carlson)이 [[1934년]] 제출하여 그의 이름이 붙은 [[부등식]]이다.<ref name="a">Arthur Engel (1997), <i>Problem-Solving Strategies</i>, Springer Verlag, p.175.</ref> 여러 종류의 형식이 있는데, 대표적인 것은 [[코시-슈바르츠 부등식]]에서 순수하게 대수적으로 유도할 수 있는 합 형태와 <math>L_2</math> 공간에서 [[실해석학]]의 기법으로 유도할 수 있는 [[적분]] 형태의 두 종류이다. 두 경우 모두 자주 쓰이는 형태는 유사한데, 이산 형태와 연속 형태로 불리기도 한다.

== 합 형태 ==
합 형태 칼손의 부등식은 보통 다음과 같은 두 형태 중 하나로 사용된다.<ref name="a"/><ref name="b"><i>ibid.</i>, p.176.</ref>

# 임의의 [[실수]] <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> 에 대하여, <math>(\sum_{i=1}^n a_i)^2 < \frac{\pi^2}{6} (\sum_{i=1}^n i^2a_i^2).</math>
# 임의의 실수 <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> 에 대하여, <math>(\sum_{i=1}^n a_i)^4 < \pi^2 (\sum_{i=1}^n a_i^2) (\sum_{i=1}^n i^2a_i^2).</math>

=== 증명 ===
둘 모두 코시-슈바르츠 부등식에서 쉽게 유도가능하다.<ref name="a"/><ref name="b"/> 위의 <math>{a_i}</math> 및 임의 n개의 0이 아닌 실수 <math>c_1, c_2, ..., c_n</math> 에 대하여 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면,

: <math>(a_1 + ... + a_n)^2 = (a_1 \cdot c_1 \cdot \frac{1}{c_1} + ... + a_n \cdot c_n \cdot \frac{1}{c_n})^2 \le (a_1^2c_1^2 + ... + a_n^2c_n^2)(\frac{1}{c_1^2} + ... + \frac{1}{c_n^2}).</math>

을 얻는다. 여기서 <math>C_n := \frac{1}{c_1^2} + ... + \frac{1}{c_n^2}</math> 라 쓰면, 이는 다음과 같은 일반적인 부등식이 된다.

: <math> (a_1 + ... + a_n)^2 \le C_n(a_1^2c_1^2 + ... + a_n^2c_n^2).</math>

여기서 <math>c_i = i</math> 라 할 경우, <math>C_n < \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math> 으로부터 첫 번째 부등식이 증명된다. 다음으로, 양수 t에 대해 <math>c_i^2 = t + \frac{i^2}{t}</math> 로 놓고 전개하면,

: <math> C_n = \frac{t}{t^2 + 1^2} + \frac{t}{t^2 + 2^2} + ... + \frac{t}{t^2 + n^2} < \frac{\pi}{2}.</math>

이 된다. <math>P := a_1^2 + ... + a_n^2, Q := a_1^2 + 2^2a_2^2 + ... + n^2a_n^2</math> 라 두고 <math>t = \sqrt{\frac{Q}{P}}</math>를 만족하도록 t를 잡으면, 다음과 같이 식을 전개할 수 있다.

: <math> (a_1 + ... + a_n)^2 \le C_n(a_1^2c_1^2 + ... + a_n^2c_n^2) < \frac{\pi}{2} (t(a_1^2 + ... + a_n^2) + \frac{1}{t} (a_1^2 + 2^2a_2^2 + ... + n^2a_n^2)) = \frac{\pi}{2} (tP + \frac{1}{t} Q) = \pi \sqrt{PQ}. </math>

이제 양 변에 제곱을 취하면 두 번째 부등식을 얻는다.

== 적분 형태 ==
적분 형태 칼손의 부등식도 위와 같은 두 가지 형태가 모두 가능하다. 두 번째 형태만 직접 서술해 보면 다음과 같다.

# 만약 f가 실수값 함수이고 <math>f, xf \in L_2(0, \infty)</math> 이면, <math>(\int_0^{\infty} f(x) dx)^4 < \pi^2 (\int_0^{\infty} f^2(x) dx) (\int_0^{\infty} x^2f^2(x) dx).</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Arthur Engel (1997), <i>Problem-Solving Strategies</i>, Springer Verlag, {{ISBN|0-387-98219-1}}

== 외부 링크 ==
*{{언어링크|en}} [http://eom.springer.de/c/c020460.htm 슈프링어 온라인 레퍼런스]

[[분류:부등식]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:대수학]]