칸토어 역설 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''칸토어 역설'''({{llang|en|Cantor’s paradox}})은 [[소박한 집합론]]의 [[역설]]의 하나이며, 모든 [[기수 (수학)|기수]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]이 [[집합]]을 이룰 수 없다는 것을 보인다.

== 정의 ==
'''칸토어 역설'''은 다음과 같다. [[기수 (수학)|기수]]들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Card}</math>가 [[집합]]이라고 가정하자. 그렇다면, 모임
:<math>\{\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<\kappa\}\colon\kappa\in\operatorname{Card}\}</math>
역시 집합이다. 그 [[합집합]]의 [[집합의 크기|크기]]를 나타내는 기수
:<math>\kappa=\left|\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}\right|</math>
를 생각하자. 그렇다면, [[칸토어 정리]]에 따라
:<math>2^\kappa>\kappa</math>
이다. 그러나
:<math>\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha<2^\kappa\}\subsetneq\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\exist\lambda\in\operatorname{Card}\colon\alpha<\lambda\}</math>
이므로,
:<math>2^\kappa\le\kappa</math>
이다. 이는 기수의 [[전순서]]와 모순된다. 따라서, 기수의 모임 <math>\operatorname{Card}</math>는 [[고유 모임]]이다.

== 역사 ==
[[게오르크 칸토어]]가 1890년대에 발견하였다.

== 같이 보기 ==
* [[부랄리포르티 역설]]
* [[러셀의 역설]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Antimony}}
* {{매스월드|id=CantorsParadox|title=Cantor's paradox}}

{{집합론}}

[[분류:소박한 집합론의 역설]]
[[분류:게오르크 칸토어]]