카앵 상수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''카앵''' 또는 '''케이헨 상수'''(Cahen constant)는 [[실베스터 수열]]로부터 파생된 부호교대로 나타나는 표식과 함께 [[단위분수]]의 무한한 연속체 [[수열]]에서 정의된다.

:<math>C = \sum\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629....</math>
쌍으로 이들 분수를 고려함으로써 카앵 상수를 실베스터 시퀸스의 균등한 위치에 있는 항으로부터 형성된 일련의 양의 단위 분수로 볼 수 있다. 카앵(Cahen) 상수를 위한 이 수열(시퀸스)는 [[탐욕 알고리즘]], [[이집트 분수분해]](Egyptian fraction)를 형성한다.

:<math>C = \sum\frac{1}{s_{2i}}=\frac12+\frac17+\frac1{1807}+\frac1{10650056950807}+\cdots \approx 0.64341054629....</math>

이 상수는 카앵-멜린(Cahen-Mellin) 적분으로 잘 알려진 유진 카앵(Eugène Cahen)의 이름을 따서 지어졌으며, [[멜린 변환|카앵-멜린(Cahen-Mellin)적분]]을 처음으로 공식화하고 조사했다.<ref>{{인용
  | last = Cahen | first = Eugène
  | title = Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues
  | journal = [[Nouvelles Annales de Mathématiques]]
  | volume = 10
  | year = 1891
  | pages = 508–514}}</ref>

카앵 상수는 [[초월수]]인 것으로 알려져 있다.<ref>{{인용
  | last1 = Davison | first1 = J. Les | author2-link = Jeffrey Shallit | last2 = Shallit | first2 = Jeffrey O.
  | title = Continued fractions for some alternating series
  | journal = Monatshefte für Mathematik
  | volume = 111
  | year = 1991
  | pages = 119–126
  | doi = 10.1007/BF01332350
  | issue = 2}}</ref>

수열 값은 다음과 같다.

:<math>1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (OEIS A006279) </math>

[[점화식]] 정의는 다음과 같다.
:<math>q_ {n + 2} = q_n^2q_{n+1}+ q_ {n}  </math>

카앵(Cahen) 상수의 계속적인 분수 확장은 다음과 같다.
:<math>[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\ldots]</math>

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]

== 각주 ==
<references />

== 참고 자료 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/CahensConstant.html 매스월드]
* [http://oeis.org/A118227 OEIS]

[[분류:특수 함수]]
[[분류:수학 상수]]