카시니의 난형선 문서 원본 보기

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[[파일:cassiniOvals01.png|프레임|오른쪽|몇몇 카시니의 난형선들. 초점은 (-1, 0) 와 (1, 0)이다. 각각의 주석들은 ''b''<sup>2</sup>의 값이다.]]

[[수학]]에서 '''카시니의 난형선(Cassini oval)'''은 두 정점 ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>에 대해 [[난형선]]상의 각각의 점 ''p''로부터 ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>까지의 거리의 곱이 일정한 [[평면]]상의 점들의 [[집합]]이다. 즉, 우리가 두 점 ''x'', ''y'' 사이의 거리를 dist(''x'',''y'')로 정의한다면, 카시니의 난형선상의 모든 점 ''p''는 다음 방정식을 만족한다.
:<math>\operatorname{dist}(q_1, p) \times \operatorname{dist}(q_2, p)=b^2\,</math>
(단, ''b''는 [[상수]]이다.)

점 ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>를 이 난형선의 [[초점]]이라고 부른다.

카시니의 난형선은 천문학자 [[조반니 도메니코 카시니]]의 이름을 따서 지어졌으며 '''카시니 난형선''', '''카시니 난형''' 등으로도 불린다.

''q''<sub>1</sub>을 (''a'',0), ''q''<sub>2</sub>를 (-''a'',0)라 가정하자. 그러면 곡선상의 점들은 다음 방정식을 만족한다.
:<math>((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4</math>

동일한 방정식으로는

:<math>(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4</math>

과

:<math>(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4</math>

이 있다.

동일한 극방정식은 다음과 같다.
:<math>r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4</math>

이 난형선의 모양은 ''b''/''a''에 의존한다. ''b''/''a''가 1보다 크면 그 [[자취]]는 하나의 연결된 고리가 된다. ''b''/''a''가 1보다 작으면 그 자취는 두개의 분리된 고리로 구성된다. ''b''/''a''가 1이면 그 자취는 [[베르누이의 렘니스케이트]]가된다.

== 예 ==
[[commons:Image:Lemniscates5.png|망델브로 집합의 두 번째 렘니스케이트]]는 방정식 <math>L_2=\{c: abs(c^2 + c)=ER \}\,</math>을 만족하는 카시니의 난형선이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| 저자=J. Dennis Lawrence | 제목=A catalog of special plane curves | url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr | 출판사=Dover Publications | 연도=1972 | isbn=0-486-60288-5}}

== 외부 링크 ==
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cassinian.html MacTutor description] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110817141723/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cassinian.html}}
* {{매스월드| id=CassiniOvals | title=Cassini Ovals}}
* [http://www.2dcurves.com/quartic/quarticca.html 2Dcurves.com description]
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/cassini/cassini.shtml "Ovale de Cassini" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (in French)

[[분류:대수 곡선]]
[[분류:조반니 도메니코 카시니]]
[[분류:평면 곡선]]