카스틸리아노의 정리 문서 원본 보기

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'''카스틸리아노의 정리'''(Castigliano's theorems)는 [[중첩]]의 원리가 적용되는 [[선형탄성]]계에서 [[변형에너지]]로부터 [[변위]]나 [[힘 (물리)|하중]]을 구하는 방법을 제공하는 정리로, [[이탈리아]]의 [[수학자]]이자 [[물리학자]]인 [[카를로 알베르토 카스틸리아노]]로부터 그 이름이 붙여졌다. 카스틸리아노의 정리를 이용해 변위나 하중을 구하는 방법을 '''카스틸리아노의 방법'''이라고도 한다.

카스틸리아노의 정리에는 두 가지가 있다.

== 카스틸리아노의 제1정리 ==
“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 변위 <math>\delta _i </math>의 [[함수]]로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 변위에 대해 [[편미분]]한 값은 하중 <math>P _i </math>와 같다.”

즉, 변형에너지를 <math>U </math>라고 하면,
:<math>P _i = \frac{\partial U}{\partial \delta _i} \quad \left( i=1, 2, 3, ..., n \right) </math>

== 카스틸리아노의 제2정리 ==
“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 하중 <math>P _i </math>의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값은 변위 <math>\delta _i </math>와 같다.”

:<math>\delta _i = \frac{\partial U}{\partial P _i} \quad \left( i=1, 2, 3, ..., n \right) </math>

== 적용과 한계 ==
=== 적용 예 ===
길이가 L, [[휨강성]]이 EI인 [[외팔보]]의 자유단에 연직 [[중력]]방향으로 하중 <math>P _1 </math>만이 작용할 때, 하중 작용점에서의 처짐 <math>\delta _1 </math>을 구하기 위해 구조물의 변형에너지를 하중 <math>P _1 </math>의 함수로 나타내면 다음과 같다. 단, 휨 변형만을 고려한 것이다.
:<math>U = \frac{1}{2EI} \int ^L _0 {\left( -P_1 x \right)}^2 dx = \frac{P_1 ^2 L^3}{6EI}</math>
카스틸리아노의 제2정리에 의해
:<math>\delta_1 = \frac{\partial U}{\partial P_1} = \frac{P_1 L^3 }{3EI} </math>

=== 적용의 한계 ===
카스틸리아노의 정리는 구조물 지점의 침하나 [[온도]] 변화 등에 따른 처짐의 계산에는 사용될 수 없다.

== 같이 보기 ==
* [[단위하중법]]
* [[최소일의 방법]]

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [[:b:ko:대문|위키책]]의 [[:b:en:Structural_engineering#Castagliano.27s_theorems|구조공학 모듈]]
* {{언어링크|de}} [http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1008&mode=&order=0 카스틸리아노 정리를 사용한 계산의 몇 가지 예]

{{전거 통제}}

[[분류:구조역학]]
[[분류:연속체역학]]