카르탕 대합 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''카르탕 대합'''(Cartan對合, {{llang|en|Cartan involution}})은 [[킬링 형식]]을 [[음의 정부호]]로 만드는 [[리 대수]] [[대합 (수학)|대합]]이다.

== 정의 ==
실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌으며, 그 [[킬링 형식]]
:<math>B \colon \mathfrak g\otimes\mathfrak g\to \mathbb R</math>
:<math>B(x,y)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y))</math>
을 생각하자.

<math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수]] [[자기 동형]]
:<math>\theta\colon \mathfrak g\to\mathfrak g</math>
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''카르탕 대합'''이라고 한다.
* ([[대합 (수학)|대합]] 조건) <math>\theta\circ\theta = \operatorname{id}_{\mathfrak g}</math>
* <math>B(-,\theta(-))</math>는 <math>\mathfrak g</math> 위의 [[음의 정부호 이차 형식]]이다.

== 성질 ==
=== 존재와 유일성 ===
모든 실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>는 카르탕 대합을 갖는다. 또한, 임의의 두 카르탕 대합 <math>\theta</math>, <math>\theta'</math>에 대하여
:<math>\theta' = \theta \circ \operatorname{Ad}_g</math>
가 되는, <math>\mathfrak g</math>에 대응하는 [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G</math>의 원소 <math>g\in G</math>가 존재한다. 즉, 실수 [[반단순 리 대수]]에 대하여 카르탕 대합은 [[내부 자기 동형]]을 무시하면 유일하게 존재한다.

=== 카르탕 분해 ===
표수가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[대합 (수학)|대합]]
:<math>\theta\colon\mathfrak g\to\mathfrak g</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\theta</math>의 [[고윳값]]은 <math>\pm1</math>이므로, 이에 대한 [[고유 공간]]
:<math>\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p</math>
:<math>\theta(k+p) = k - p \qquad(k\in\mathfrak k,\;p\in\mathfrak p)</math>
을 정의할 수 있다. <math>\theta</math>는 [[리 대수]] [[자기 동형]]이므로,
:<math>[\mathfrak k,\mathfrak k] \subseteq\mathfrak k</math>
:<math>[\mathfrak k,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak p</math>
:<math>[\mathfrak p,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak k</math>
이다. 특히, <math>\mathfrak k</math>는 부분 리 대수를 이룬다. 이를 대합 <math>\theta</math>에 대한 '''카르탕 분해'''라고 한다.

만약 <math>K=\mathbb R</math>이며 <math>\theta</math>가 카르탕 대합이라면, 다음 성질들이 추가로 성립한다.
* 킬링 형식 <math>B</math>는 <math>\mathfrak k</math>에서 [[음의 정부호 이차 형식]]이며, <math>\mathfrak p</math>에서 [[양의 정부호]]이다.
* <math>\mathfrak k</math>와 <math>\mathfrak p</math>는 <math>B</math>에 대하여 서로 수직이다. 즉, <math>B\restriction \mathfrak k\otimes\mathfrak p = 0</math>이다.

== 예 ==
<math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)</math> 위의 카르탕 대합은
:<math>\theta\colon x\mapsto -x^\top</math>
이다. (여기서 <math>(-)^\top</math>은 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]의 [[전치 행렬]]이다.) 이에 따른 카르탕 분해는
:<math>\mathfrak k = \mathfrak o(n;\mathbb R)</math>
:<math>\mathfrak p = \{x\in \mathfrak{sl}(n;\mathbb R) \colon x = x^\top\}</math>
이다.

만약 실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]]이 [[음의 정부호]]라면 (즉, [[콤팩트 리 군]]에 대응한다면), 카르탕 대합은 [[항등 함수]]이다. 이 경우 카르탕 분해는 <math>\mathfrak k=\mathfrak g</math>이며 <math>\mathfrak p=\mathfrak 0</math>이다.

== 역사 ==
1880년대에 [[엘리 카르탕]]과 [[빌헬름 킬링]]의 업적에서 최초로 등장한다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cartan decomposition}}
* {{매스월드|id=CartanDecomposition}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리 대수]]