카르탕-디외도네 정리 문서 원본 보기

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[[기하학]] 및 [[선형대수학]]에서, '''카르탕-디외도네 정리'''(Cartan–Dieudonné定理, {{llang|en|Cartan–Dieudonné theorem}})는 [[직교군]]의 원소를 [[반사 (기하학)|반사]]들의 [[함수의 합성|합성]]으로 나타내는 정리다.

== 정의 ==
'''카르탕-디외도네 정리'''에 따르면, (임의의 [[환의 표수|표수]]의) [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 유한 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]]
:<math>Q\colon V\to K</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Grove">{{서적 인용|성=Grove|이름=Larry C.|제목=Classical groups and geometric algebra|언어=en|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=39|출판사=American Mathematical Society|위치=[[프로비던스]]|날짜=2002|isbn=0-8218-2019-2|issn=1065-7338|mr=MR1859189|zbl=0990.20001}}</ref>{{rp|135, Theorem 14.16}}
<ul>
<li>[[직교군]] <math>\operatorname O(V,Q)</math>의 원소들은 [[반사 (기하학)|반사]]들의 합성으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 <math>M\in\operatorname O(V,Q)</math>에 대하여,
:<math>Q(v_i)\ne0\qquad(i=1,\dots,n)</math>
:<math>M=R_{v_1}\circ\cdots R_{v_r}</math>
인 유한 개의 벡터 <math>\{v_1,\dots,v_r\}\subseteq V</math>들이 존재한다. 여기서, 비등방 벡터
:<math>v\in V</math>
:<math>Q(v)\ne0</math>
에 대한 [[반사 (기하학)|반사]]는 다음과 같다.
:<math>R_v\colon V\to V</math>
:<math>R_v\colon u\mapsto u-\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}v</math></li>
<li><math>Q</math>는 크기 2의 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math>에 대한 4차원 [[벡터 공간]] <math>(\mathbb F_2)^4</math> 위의, 비트 지표가 2인 비퇴화 이차 형식 <math>x_1x_2+x_3x_4</math>과 [[이차 형식의 동치|동치]]가 아니다. 즉,
<ul>
<li><math>K\not\cong\mathbb F_2</math>이거나,</li>
<li><math>K\cong\mathbb F_2</math>이며 <math>n\ne4</math>이거나,</li>
<li><math>K\cong\mathbb F_2</math>이며 <math>n=4</math>이며 <math>Q</math>의 비트 지표는 2가 아니다.</li>
</ul></li>
</ul>
즉, [[이차 형식의 동치]] 아래 유일한 반례 하나를 제외하면, 직교군의 원소는 항상 일련의 반사들의 합성으로 나타낼 수 있다. 유일한 반례의 표수는 2이다. 따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 반례는 존재하지 않는다. 표수가 2가 아닌 경우, 다음 사실들이 추가로 성립한다.
<ul>
<li><math>\operatorname O(V,Q)</math>의 모든 원소들은 <math>n</math>개 이하의 반사들의 합성이다.<ref name="Grove"/>{{rp|48, Theorem 6.6}}<ref name="Lam2005"/>{{rp|18, Theorem 7.1}}</li>
<li><math>M\in\operatorname O(V,Q)</math>을 반사들의 합성으로 나타내었을 때, 반사들의 수는 항상 <math>n-\dim\ker(1-M)</math> 이상이다.<ref name="Lam2005"/>{{rp|19, Corollary 7.4(1)}} 특히, <math>M</math>의 [[고정점]]이 <math>0\in V</math>밖에 없다면, <math>M</math>은 <math>n</math>개 미만의 반사들의 합성이 아니다.<ref name="Lam2005"/>{{rp|19, Corollary 7.4(2)}}</li>
<li><math>M\in\operatorname O(V,Q)</math>이 <math>n</math>개의 반사의 합성이라고 하자. 그렇다면, 임의의 반사 <math>R</math>에 대하여,
:<math>M=R\circ R_2\circ\cdots\circ R_n=R_1'\circ\cdots R_{n-1}'\circ R</math>
인 반사 <math>R_2,\dots,R_n</math> 및 <math>R_1',\dots,R_{n-1}'</math>들이 존재한다. 즉, 정확히 <math>n</math>개의 반사의 합성의 경우, 처음 또는 마지막 반사를 임의로 고를 수 있다.<ref name="Lam2005">{{서적 인용|성=Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|제목=Introduction to quadratic forms over fields|언어=en|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=67|출판사=American Mathematical Society|위치=Providence, RI|날짜=2005|isbn=978-0-8218-1095-8|issn=1065-7339|mr=2104929|zbl=1068.11023|lccn=2004062281}}</ref>{{rp|18, Corollary 7.2}}</li>
</ul>

=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 (표준적인 이차 형식 <math>x_1^2+\cdots+x_n^2</math>에 대한) 직교군 <math>\operatorname O(n)</math>을 생각하자. 카르탕-디외도네 정리에 따라, <math>\operatorname O(n)</math>의 원소들은 (원점을 고정하는) <math>n</math>개 이하의 반사들의 합성이다. <math>\operatorname O(n)</math>의 원소는 <math>\mathbb R^n</math>의 [[등거리 변환]]을 이루며, 원점을 고정한다. 반대로, 고정점을 갖는 <math>\mathbb R^n</math>의 등거리 변환은 그 고정점을 원점으로 하는 [[정규 직교 기저]]를 잡아 <math>\operatorname O(n)</math>의 원소로 여길 수 있다. 따라서, <math>x</math>를 고정점으로 하는 <math>\mathbb R^n</math>의 [[등거리 변환]]들은 (<math>x</math>를 고정하는) <math>n</math>개 이하의 반사들의 합성이다.

[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[유클리드 군]]
:<math>\operatorname{IO}(n)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname O(n)</math>
을 생각하자. 이는 <math>\mathbb R^n</math>의 임의의 [[등거리 변환]]들로 구성된다. 임의의 등거리 변환에 적절한 [[평행 이동]]을 합성하여 원점의 상을 원점으로 돌려 보내면, 원점을 고정하는 등거리 변환을 얻는다. 즉, <math>\operatorname{IO}(n)</math>의 원소는 <math>\operatorname O(n)</math>의 원소와 평행 이동의 합성이다. 그런데 <math>\operatorname O(n)</math>의 원소는 원점을 고정하는 <math>n</math>개 이하의 반사들의 합성이며, 임의의 평행 이동은 항등 함수이거나, 어떤 두 서로 다른 반사의 합성이다. 또한, <math>n</math>개의 반사의 합성의 경우, 처음 오는 반사는 평행 이동을 나타내는 반사와 만나 없어지도록 고를 수 있다. 따라서, <math>\operatorname{IO}(n)</math>의 원소들은 <math>n+1</math>개 이하의 반사들의 합성이다.

== 역사 ==
19세기 초 [[엘리 카르탕]]이 실수체와 복소수체에 대하여 증명하였다.<ref name="Gallier">{{서적 인용|성=Gallier|이름=Jean|제목=Geometric methods and applications|언어=en|판=2|총서=Texts in Applied Mathematics|권=38|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2011|issn=0939-2475|isbn=978-1-4419-9960-3|doi=10.1007/978-1-4419-9961-0|lccn=2011929342}}</ref>{{rp|235, §8.2}} 카르탕의 증명은 그의 1938년 저서<ref name="Cartan1938a">{{서적 인용|성=Cartan|이름=Élie|저자링크=엘리 카르탕|제목=Leçons sur la théorie des spineurs. I. Les spineurs de l’espace à trois dimensions|언어=fr|총서=Actualités Scientifiques et Industrielles|권=643|출판사=Hermann & Cie|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1938|zbl=0019.36301}}</ref><ref name="Cartan1938b">{{서적 인용|성=Cartan|이름=Élie|저자링크=엘리 카르탕|제목=Leçons sur la théorie des spineurs. II. Les spineurs de l’espace à n>3 dimensions. Les spineurs en géométrie riemannienne.|언어=fr|총서=Actualités Scientifiques et Industrielles|권=701|출판사=Hermann & Cie|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1938|zbl=0022.17101}}</ref>에 실려 있다. 이후 [[장 디외도네]]가 임의의 체에 대하여 증명하였다.<ref name="Dieudonné">{{서적 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|저자링크=장 디외도네|제목=Sur les groupes classiques|언어=fr|총서=Actualites Scientifiques et Industrielles|권=1040|출판사=Hermann & Cie|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1948|mr=0024439|zbl=0037.01304}}</ref><ref name="Gallier">{{서적 인용|성=Gallier|이름=Jean|제목=Geometric methods and applications|언어=en|판=2|총서=Texts in Applied Mathematics|권=38|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2011|issn=0939-2475|isbn=978-1-4419-9960-3|doi=10.1007/978-1-4419-9961-0|lccn=2011929342}}</ref>{{rp|235, §8.2}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:선형대수학]]