카라테오도리 확장 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''카라테오도리 확장 정리'''(Carathéodory擴張定理, {{llang|en|Carathéodory’s extension theorem}}) 또는 '''한-콜모고로프 정리'''(Hahn-Колмого́ров定理, {{llang|en|Hahn–Kolmogorov theorem}})는 [[완비 측도]]를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 집합 <math>X</math>
* '''[[집합 반환]]'''(集合半環, {{llang|en|semiring of sets}}) <math>\Sigma_0\subseteq\mathcal P(X)</math>. 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
** <math>\varnothing\in\Sigma_0</math>
** (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 <math>A,B\in\Sigma_0</math>에 대하여, <math>A\cap B\in\Sigma_0</math>
** 임의의 <math>A,B\in\Sigma_0</math>에 대하여, <math>\textstyle A\setminus B=\bigcup_{i=1}^nC_i</math>인 유한 개의 [[서로소 집합]] <math>C_1,\dots,C_n\in\Sigma_0</math>이 존재한다.
* '''[[준측도]]'''(準測度, {{llang|en|premeasure}}) <math>\mu_0\colon\Sigma_0\to[0,\infty]</math>. 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
** <math>\mu_0(\varnothing)=0</math>
** (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 [[서로소 집합]] <math>A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0</math>이라면, <math>\textstyle\mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)</math>
*** (단조성) 특히, 만약 <math>A,B\in\Sigma_0</math>이며 <math>A\subseteq B</math>라면, <math>\textstyle\mu_0(A)\le\mu_0(B)</math>이다. (아래 증명 참고)
*** (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 <math>A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0</math>이며 <math>\textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0</math>이라면, <math>\textstyle\mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)</math>이다. (아래 증명 참고)
또한,
:<math>\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
:<math>\mu^*\colon A\mapsto\inf\left\{\sum_{i=0}^\infty\mu_0(A_i)\colon A\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\;A_i\in\Sigma_0\right\}\qquad(A\subseteq X)</math>
가 <math>\mu_0</math>으로 유도된 [[외측도]]라고 하고,
:<math>\Sigma=\{A\subseteq X\colon\forall S\subseteq X\colon\mu^*(S)=\mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A)\}</math>
가 <math>\mu^*</math>-[[카라테오도리 가측 집합]]의 집합이라고 하자. '''카라테오도리 확장 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>\Sigma</math>는 <math>\mathcal P(X)</math>의 [[부분 시그마 대수]]를 이룬다.
* <math>\mu=\mu^*|_\Sigma</math>는 [[완비 측도]]를 이룬다.
* <math>\Sigma_0\subseteq\Sigma</math> (따라서 <math>\sigma(\Sigma_0)\subseteq\Sigma</math>)
* <math>\mu|_{\Sigma_0}=\mu_0</math>
* 만약 <math>\mu_0</math>이 [[시그마 유한 준측도]]라면 (즉, <math>\textstyle X=\bigcup_{i=1}^\infty A_i</math>이며 <math>\forall i\in\mathbb Z^+\colon\mu_0(A_i)<\infty</math>인 <math>A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0</math>이 존재한다면), <math>\mu|_{\sigma(\Sigma_0)}</math>은 <math>\mu_0</math>을 확장하여 얻을 수 있는 <math>\sigma(\Sigma_0)</math> 위의 유일한 측도이다.
여기서 <math>\sigma(\Sigma_0)</math>은 <math>\Sigma_0</math>을 포함하는 최소의 시그마 대수이다.

== 증명 ==
우선, <math>\mu^*</math>는 추상적 [[외측도]]라는 것을 증명하자. 우선 자명하게 <math>\mu^*(\varnothing)=0</math>이며, 또한 만약 <math>A\subseteq B\subseteq X</math>라면 <math>\mu^*(A)\le\mu^*(B)</math>이다. 따라서 <math>\mu^*</math>가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 <math>A_1,A_2,\dots\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math> 및 <math>i\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>\sum_{j=1}^\infty\mu_0(A_{ij})\le\mu^*(A_i)+\frac\epsilon{2^i}</math>
이며 <math>\textstyle A_i\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty A_{ij}</math>인 <math>A_{i1},A_{i2},\dots\in\Sigma_0</math>이 존재한다. 그렇다면 <math>\textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{j=1}^\infty A_{ij}</math>이므로,
:<math>\mu^*\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty\mu_0(A_{ij})\le\sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)+\epsilon</math>
이다.

<math>\mu^*</math>-카라테오도리 가측 집합의 집합 <math>\Sigma</math>가 <math>\mathcal P(X)</math>의 부분 시그마 대수라는 사실과 <math>\mu=\mu^*|_\Sigma</math>는 그 위의 완비 측도라는 사실은 <math>\mu^*</math>가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, <math>\Sigma</math>가 <math>\mathcal P(X)</math>의 [[부분 불 대수]]임을 보이자. 우선 자명하게 <math>\varnothing\in\Sigma</math>이며, 임의의 <math>A\in\Sigma</math>에 대하여 <math>X\setminus A\in\Sigma</math>이다. 따라서 <math>\Sigma</math>가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 <math>A,B\in\Sigma</math> 및 <math>S\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}
\mu^*(S)
& = \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\
& = \mu^*((S\cap A)\cap B)+\mu^*((S\cap A)\setminus B)+\mu^*((S\setminus A)\cap B)+\mu^*((S\setminus A)\setminus B)) \\
& = \mu^*(S\cap(A\cap B))+\mu^*(S\cap(A\setminus B))+\mu^*(S\cap(B\setminus A))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\
& \ge \mu^*(S\cap(A\cup B))+\mu^*(S\setminus(A\cup B)) \\
& \ge \mu^*(S)
\end{align}</math>
이므로, <math>A\cup B\in\Sigma</math>이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각 <math>A,B\in\Sigma</math> 때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 <math>\mu^*</math>의 가산 준가법성 때문이다.

이제, <math>\Sigma</math>가 <math>\mathcal P(X)</math>의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 <math>\Sigma</math>가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합 <math>A_1,A_2,\dots,\in\Sigma</math> 및 임의의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}
\mu^*(S)
& = \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^nA_i\right) \\
& \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^nA_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& =\mu^*(S\cap A_n)+\mu^*(S\cap A_{n-1})+\mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^{n-2}A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& \vdots \\
& =\sum_{i=1}^n\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)
\end{align}</math>
이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각 <math>\textstyle\bigcup_{i=1}^nA_i,A_n\in\Sigma</math> 때문이며, 둘째 줄의 등호는 <math>\mu^*</math>의 단조성 때문이다. 이에 <math>n</math>에 대한 극한을 취하면
:<math>\begin{align}
\mu^*(S)
& \ge \sum_{i=1}^\infty\mu^*(S\cap A_i)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& \ge \mu^*\left(S\cap\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)+\mu^*\left(S\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& \ge \mu^*(S)
\end{align}</math>
를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 <math>\mu^*</math>의 가산 준가법성 때문이다.

이제, <math>\mu=\mu^*|_\Sigma</math>가 <math>\Sigma</math> 위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 <math>\textstyle S=\bigcup_{j=1}^\infty A_j</math>를 취하면
:<math>\begin{align}
\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right)
& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\cap A_i\right)
    + \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\setminus\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i)+\mu^*(\varnothing) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\mu^*(A_i) 
\end{align}</math>
를 얻으며, 이에 따라 <math>\mu</math>는 <math>\Sigma</math> 위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 <math>\mu^*</math>-카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 <math>A\subseteq X</math>가 <math>\mu^*(A)=0</math>을 만족시키며, 또한 <math>B\subseteq A</math>라고 하자. 그렇다면,
:<math>\begin{align}
\mu^*(S)
& \le \mu^*(S\cap B)+\mu^*(S\setminus B) \\
& = \mu^*(S\setminus B) \\
& \le \mu^*(S)
\end{align}</math>
이다. 첫째 줄의 부등호는 <math>\mu^*</math>의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는 <math>S\cap B\subseteq A</math> 및 <math>\mu^*</math>의 단조성, 셋째 줄의 부등호는 <math>S\setminus B\subseteq S</math> 및 <math>\mu^*</math>의 단조성 때문이다.

이제, <math>\Sigma_0\subseteq\Sigma</math>를 증명하자. 임의의 <math>A\in\Sigma_0</math> 및 <math>S\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)\le\mu^*(S)+\epsilon</math>
이며 <math>\textstyle S\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i</math>인 <math>A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0</math>이 존재한다. 각 <math>i\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>\textstyle A_i\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij}</math>인 서로소 집합 <math>B_{i1},\dots,B_{in_i}\in\Sigma_0</math>을 취하자. 그렇다면,
:<math>S\cap A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty(A_i\cap A)</math>
:<math>S\setminus A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty(A_i\setminus A)=\bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij}</math>
이므로,
:<math>\begin{align}
\mu^*(S)
& \le \mu^*(S\cap A)+\mu^*(S\setminus A) \\
& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i\cap A)+\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\
& \le \mu^*(S)+\epsilon
\end{align}</math>
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 <math>\mu^*</math>의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 <math>\mu_0</math>의 가산 가법성 때문이다.

이제, <math>\mu_0</math>의 단조성을 증명하자. <math>A,B\in\Sigma_0</math>이며 <math>A\subseteq B</math>라고 하자. 그렇다면 <math>\textstyle B\setminus A=\bigcup_{i=1}^nC_i</math>인 서로소 집합 <math>C_1,\dots,C_n\in\Sigma_0</math>을 고를 수 있다. 그렇다면
:<math>\mu_0(B)=\mu_0(A)+\sum_{i=1}^n\mu_0(C_i)\ge\mu(A)</math>
이다.

이제, 준측도 <math>\mu_0</math>의 가산 준가법성을 증명하자. <math>A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0</math>이며 <math>\textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\Sigma_0</math>이라고 하자. 그렇다면 각 <math>i\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>B_i = A_i\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j = \bigcup_{j=1}^{n_i}B_{ij}</math>
인 서로소 집합 <math>B_{i1},\dots,B_{in_i}\in\Sigma_0</math>을 고를 수 있다. 그렇다면 각 <math>i\in\mathbb Z^+</math>에 대하여
:<math>C_i = A_i\cap\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j = A_i\cap\bigcup_{k=1}^{i-1}B_k=\bigcup_{k=1}^{i-1}\bigcup_{j=1}^{n_j}(A_i\cap B_{kj})</math>
이므로,
:<math>\begin{align}
\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)
& = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(B_i\cup C_i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty\left(\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij})+\sum_{k=1}^{i-1}\sum_{j=1}^{n_k}\mu_0(A_i\cap B_{kj})\right) \\
& \ge \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{n_i}\mu_0(B_{ij}) \\
& = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)
\end{align}</math>
이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도  <math>\mu_0</math>의 가산 가법성 때문이다.

이제, <math>\mu|_{\Sigma_0}=\mu_0</math>를 증명하자. 임의의 <math>A\in\Sigma_0</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)<\mu^*(A)+\epsilon</math>
이며 <math>\textstyle A\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i</math>인 <math>A_1,A_2,\dots\in\Sigma_0</math>이 존재한다. 그렇다면
:<math>\begin{align}
\mu^*(A)
& \le \mu_0(A) \\
& = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap A_i)\right) \\
& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A\cap A_i) \\
& \le \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i) \\
& < \mu^*(A)+\epsilon
\end{align}</math>
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 <math>\mu^*</math>의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 <math>\mu_0</math>의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

마지막으로, 확장된 측도의 <math>\sigma(\Sigma_0)</math>에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 <math>\mu_1,\mu_2\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>에 대하여, 만약 <math>\mu_1|_{\Sigma_0}=\mu_2|_{\Sigma_0}</math>이며, 준측도 <math>\mu_1|_{\Sigma_0}</math>이 시그마 유한 준측도라면, <math>\mu_1|_{\sigma(\Sigma_0)}=\mu_2|_{\sigma(\Sigma_0)}</math>임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 <math>\Sigma_0</math>가 [[π계]](즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 <math>\Sigma_0</math>에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.
:<math>\mathcal A=\{A\in\Sigma\colon\forall B\in\Sigma_0\setminus\mu_1^{-1}(\infty)\colon\mu_1(A\cap B)=\mu_2(A\cap B)\}</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal A</math>는 [[λ계]]이며 <math>\Sigma_0\subseteq\mathcal A</math>이므로, [[π-λ 정리]]에 따라 <math>\sigma(\Sigma_0)\subseteq\mathcal A</math>이다. <math>\textstyle X=\bigcup_{i=1}^\infty B_i</math>이며 <math>\textstyle\forall i\in\mathbb Z^+\colon\mu_1(B_i)<\infty</math>인 <math>B_1,B_2,\dots\in\Sigma_0</math>을 취하자. 그렇다면, 임의의 <math>A\in\sigma(\Sigma_0)</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}
\mu_1(A)
& = \mu_1\left(\bigcup_{i=1}^\infty(A\cap B_i)\right) \\
& = \lim_{n\to\infty}\mu_1\left(\bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\right) \\
& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\mu_1(A\cap B_{i_1}\cap\cdots\cap B_{i_k}) \\
& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\mu_2(A\cap B_{i_1}\cap\cdots\cap B_{i_k}) \\
& = \mu_2(A)
\end{align}</math>
이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 [[포함배제의 원리]] 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 <math>1\le i_1<\cdots<i_k\le n</math>에 대하여 <math>B_{i_1}\cap\cdots\cap B_{i_k}\in\Sigma_0\setminus\mu_1^{-1}(\infty)</math>이기 때문이다.

== 역사 ==
오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 [[콘스탄티노스 카라테오도리]]가 도입하였다.<ref name="Carathéodory1">{{저널 인용
|성=Carathéodory
|이름=C.
|저자링크=콘스탄티노스 카라테오도리
|제목=Über das lineare Maß von Punktmengen
|언어=de
|저널=Nachr. Ges. Wiss. G¨ottingen, Math.-phys
|쪽=404–426
|날짜=1914
}}</ref><ref name="Carathéodory2">{{서적 인용
|성=Carathéodory
|이름=C.
|저자링크=콘스탄티노스 카라테오도리
|제목=Vorlesungen über Reelle Funktionen
|언어=de
|출판사=B.G. Teubner
|위치=Leipzig–Berlin
|날짜=1918
}}</ref> 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 [[모리스 르네 프레셰]]가 증명하였다.<ref name="Fréchet">{{저널 인용
|성=Fréchet
|이름=M.
|저자링크=모리스 르네 프레셰
|제목=Des familles et fonctions additives d’ensembles abstraits. Suite
|언어=fr
|저널=Fund. Math.
|권=5
|쪽=206–251
|날짜=1924
}}</ref> 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 [[안드레이 콜모고로프]],<ref name="Kolmogorov1">{{저널 인용
|성=Kolmogorov
|이름=A. N.
|저자링크=안드레이 콜모고로프
|제목=General measure theory and probability calculus
|언어=ru
|저널=Trudy Komm. Akad. Matem.
|권=1
|쪽=8–21
|날짜=1929
}}</ref><ref name="Kolmogorov2">{{서적 인용
|성=Kolmogorov
|이름=A. N.
|저자링크=안드레이 콜모고로프
|제목=Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
|언어=de
|출판사=Springer
|위치=Berlin
|날짜=1933
}}</ref> [[한스 한]],<ref name="Hahn">{{저널 인용
|성1=Hahn
|이름1=H.
|저자링크=한스 한
|제목=Über die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen
|언어=de
|저널=Annali Scuola Norm. Super. Pisa
|권=2
|호=2
|쪽=429–452
|날짜=1933
}}</ref> [[에베르하르트 호프]]<ref name="Hopf1">{{저널 인용
|성1=Hopf
|이름1=E.
|저자링크=에베르하르트 호프
|제목=On causality, statistics and probability
|언어=en
|저널=J. Math. Phys.
|권=13
|쪽=51–102
|날짜=1934
}}</ref><ref name="Hopf2">{{서적 인용
|성1=Hopf
|이름1=E.
|저자링크=에베르하르트 호프
|제목=Ergodentheorie
|언어=de
|출판사=Springer
|위치=Berlin
|날짜=1937
}}</ref>의 논문·저서에 소개되었다.

== 같이 보기 ==
* [[외측도]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}
* {{서적 인용
|성=Billingsley
|이름=Patrick
|제목=Probability and Measure
|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill
|언어=en
|판=3
|총서=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics
|출판사=Wiley-Interscience
|위치=New York, N.Y.
|날짜=1995
|isbn=978-0-471-00710-4
}}
* {{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume I
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}
* {{서적 인용
|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2012/12/gsm-126-tao5-measure-book.pdf
|형식=PDF
|성=Tao
|이름=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=An introduction to measure theory
|언어=en
|총서=Graduate Studies in Mathematics
|권=126
|출판사=American Mathematical Society
|날짜=2011
|isbn=978-0-8218-6919-2
|zbl=1231.28001
}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CaratheodoryMeasure|제목=Caratheodory measure}}
* {{플래닛매스|urlname=HahnKolmogorovTheorem|제목=Hahn-Kolmogorov theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfCaratheodorysExtensionTheorem|제목=Proof of Carathéodory’s extension theorem}}

[[분류:측도론 정리]]