칠차 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Septic graph.svg|섬네일|right|233px]]'''칠차 방정식'''({{lang|en|septic equation}})은 최고차항의 차수가 7인 [[다항식|다항 방정식]]을 뜻한다.

따라서 칠차방정식은 기수차 방정식이다.
:<math>ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+g x+h=0,\, a\ne0</math>

== 칠차방정식의 판별식 ==
[[소행렬식]]의 [[라플라스 전개]]로 [[실베스터 행렬]]의 종결식을 사용한 칠차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

== 근과 계수와의 관계 ==
{{참고|근과 계수의 관계}}
:<math>ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+g x+h=0,\, a\ne0</math>에 따른  계수의 출현에 대한 조합개수는 [[조합]]의 [[경우의 수]]로 따져 볼 수 있다.

칠차방정식에 존재하는 7개의 근을 예약하여, <math>\textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta,\epsilon,\zeta,\eta</math>라고 하면, 1개씩 출현하는 조합의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{7!}{1! \cdot (7-1)!}= {{7\cdot\cancel{6\cdot5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \over {1! \cdot \cancel{(6\cdot5\cdot4\cdot3 \cdot 2 \cdot 1)}}} ={7 \over 1}=7  </math>
2개씩 출현하는 조합의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{7!}{2! \cdot (7-2)!}= {{7\cdot6\cdot\cancel{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \over {2! \cdot \cancel{( 5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}} ={{7\cdot6} \over {2\cdot1}}={42 \over 2}=21  </math>
3개씩 출현하는 조합의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}= {{7\cdot6\cdot5\cdot\cancel{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \over {3! \cdot \cancel{(4\cdot3\cdot2\cdot1)}}} ={{7\cdot6\cdot5} \over {3\cdot2\cdot1}}={210 \over 6}=35  </math>
4개씩 출현하는 조합의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{7!}{4! \cdot (7-4)!}= {{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot\cancel{ 3 \cdot 2 \cdot 1}} \over {4! \cdot \cancel{(3\cdot2\cdot1)}}} ={{7\cdot6\cdot5\cdot\cancel{4}} \over {\cancel{4}\cdot3\cdot2\cdot1}}={210 \over 6}=35  </math>이다.
5개씩 출현하는 조합의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{7!}{5! \cdot (7-5)!}= {{7\cdot6\cdot 5\cdot4\cdot 3 \cdot\cancel{ 2 \cdot 1}} \over {5! \cancel{\cdot (2\cdot1)}}} ={{7\cdot6\cdot\cancel{5\cdot4\cdot 3}} \over {\cancel{5\cdot4\cdot3\cdot}2\cdot1}}={{7\cdot6} \over {2\cdot1}}={42 \over2}=21  </math>이다.
6개씩 출현하는 조합의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{7!}{6! \cdot (7-6)!}= {{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cancel{\cdot 1}} \over {6! \cdot \cancel{(1)}}} ={{7\cdot\cancel{6\cdot5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 }} \over {\cancel{6\cdot5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 }\cdot 1}}={7 \over 1}=7 </math>이다.
7개씩 출현하는 조합의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{7!}{7! \cdot (7-7)!}= {{7! } \over {7! \cdot 0!}}={1 \over 1}=1 </math>이된다.

== 칠차방정식의 근의 정보에 대한 접근 ==
:<math>ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+g x+h=0</math>

:<math>x^7+{b \over a}x^6+{c \over a}x^5+{d \over a}x^4+{e \over a}x^3+{f \over a}x^2+{g \over a}x + {h \over a}=0, </math>
:<math> \qquad x=y- {b \over \mathbf{7} a} </math> (zipping)  [[취른하우스 변형]]
:<math>y^7+py^5+qy^4+ry^3+sy^2+ty+u=0</math>

== 같이 보기 ==
* [[일차 방정식]]
* [[이차 방정식]]
* [[삼차 방정식]]
* [[사차 방정식]]
* [[오차 방정식]]
* [[육차 방정식]]

[[분류:방정식]]
[[분류:갈루아 이론]]
[[분류:다항식]]