치환 적분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}

[[미적분학]]에서 '''치환 적분'''(置換積分, {{llang|en|integration by substitution}})은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 [[적분]]하는 기법이다.

== 정의 ==
=== 부정적분의 경우 ===
{{참고|부정적분#치환 적분}}
구간 <math>I\subseteq\mathbb R</math>와 함수 <math>g\colon I\to\mathbb R</math> 및 <math>f\colon g(I)\to\mathbb R</math>이 주어졌다고 하자.
* 만약 <math>f</math>의 [[부정적분]] <math>F</math>가 존재하고, <math>g</math>가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.<ref name="wusj1">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第一册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2009-08
|isbn=978-7-301-15685-8
}}</ref>{{rp|246, 定理6.2.1}}
*:<math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int f(u)\mathrm du=F(g(x))+C</math>
* 만약 <math>(f\circ g)\cdot g'</math>의 원함수 <math>H</math>가 존재하고, <math>g</math>가 미분 가능 함수이며, 모든 <math>t\in I</math>에 대하여 <math>g'(t)\ne 0</math>이라면, 다음이 성립한다.<ref name="wusj1" />{{rp|252, 定理6.2.2}}
*:<math>\int f(x)\mathrm dx=\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=H(g^{-1}(x))+C</math>

=== 정적분의 경우 ===
{{참고|리만 적분#치환 적분}}
만약 <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 [[연속 미분 가능 함수]]이며, <math>f\colon g([a,b])\to\mathbb R</math>가 [[연속 함수]]라면, 다음이 성립한다.<ref name="Stewart">{{서적 인용
|성=Stewart
|이름=James
|제목=Single Variable Calculus: Early Transcendentals
|언어=en
|판=7
|출판사=Cengage Learning
|위치=Belmont, CA
|날짜=2011
|isbn=978-0-538-49867-8
|lccn=2010936598
}}</ref>{{rp|408}}
:<math>\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm dx=\int_a^bf(g(t))g'(t)\mathrm dt</math>

== 증명 ==
부정적분에 대한 첫 번째 명제의 조건에 따라 <math>F'=f</math>이며, <math>g</math>가 미분 가능 함수이므로, [[연쇄 법칙]]을 적용하면 <math>(F\circ g)'=(f\circ g)\cdot g'</math>을 얻는다. 즉, <math>(f\circ g)\cdot g'</math>의 한 원함수는 <math>F\circ g</math>이므로 첫 번째 명제가 성립한다.

부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든 <math>t\in I</math>에 대하여 <math>g'(t)\ne 0</math>이므로, [[다르부 함수|다르부 정리]]에 따라 모든 <math>t\in I</math>에 대하여 <math>g'(t)>0</math>이거나 모든 <math>t\in I</math>에 대하여 <math>g'(t)<0</math>이다. 따라서 <math>g^{-1}</math>는 존재한다. <math>H'=(f\circ g)\cdot g'</math>이며, <math>(g^{-1})'=1/(g'\circ g^{-1})</math>이므로, 다음이 성립한다.
:<math>(H\circ g^{-1})'=(H'\circ g^{-1})\cdot(g^{-1})'=f\cdot(g'\circ g^{-1})\cdot\frac 1{g'\circ g^{-1}}=f</math>
즉, <math>f</math>의 한 원함수는 <math>H\circ g^{-1}</math>이므로 두 번째 명제가 성립한다.

정적분에 대한 명제의 조건에 따라 <math>f</math>와 <math>(f\circ g)\cdot g'</math>는 연속 함수이므로, 원함수가 존재한다. [[연쇄 법칙]]에 따라, <math>f</math>의 한 원함수를 <math>F</math>라고 하면, <math>(f\circ g)\cdot g'</math>의 한 원함수는 <math>F\circ g</math>이다. [[미적분학의 기본 정리]]에 따라 다음이 성립하므로, 명제가 성립한다.
:<math>\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm dx=\bigg[F(x)\bigg]_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a))=\bigg[F(g(t))\bigg]_{a}^{b}=\int_a^bf(g(t))g'(t)\mathrm dt</math>

== 예 (부정적분) ==
=== 첫째 예 (부정적분) ===
부정적분
:<math>\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx</math>
에서 <math>u=2x+1</math>이라고 하자. 그러면 <math>\mathrm du=2\mathrm dx</math>이므로 <math>\mathrm dx=(\mathrm du)/2</math>이다. 따라서 다음이 성립한다.<ref name="Stewart" />{{rp|409, Example 2}}
:<math>\begin{align}\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx
&=\int\sqrt u\cdot\frac{\mathrm du}2\\
&=\frac 12\int u^{1/2}\mathrm du\\
&=\frac 12\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\
&=\frac 13u^{3/2}+C\\
&=\frac 13(2x+1)^{3/2}+C
\end{align}</math>

=== 둘째 예 (부정적분) ===
부정적분
:<math>\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx</math>
에서 <math>u=x^2+1</math>이라고 하자. 그러면 <math>\mathrm du=2x\mathrm dx</math>이므로 <math>x\mathrm dx=(\mathrm du)/2</math>이다. 따라서 다음이 성립한다.<ref name="wusj1" />{{rp|248, 例6.2.6}}
:<math>\begin{align}\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx
&=\frac 12\int\frac{\mathrm du}u\\
&=\left ( \frac{1}{2} \right  )\ln|u|+C\\
&=\left ( \frac{1}{2} \right )\ln(x^2+1)+C
\end{align} </math>
치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.<ref name="wusj1" />{{rp|248, 例6.2.6}}
:<math>\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx
=\frac 12\int\frac{\mathrm d(x^2+1)}{x^2+1}
=\frac 12\ln(x^2+1)+C
</math>

=== 셋째 예 (부정적분) ===
부정적분
:<math>\int\tan x\mathrm dx</math>
에서 <math>u=\cos x</math>라고 하자. 그러면 <math>\mathrm du=-\sin x\mathrm dx</math>이므로 <math>\sin x\mathrm dx=-\mathrm du</math>이다. 따라서 다음이 성립한다.<ref name="Stewart" />{{rp|410, Example 6}}
:<math>\begin{align}\int\tan x\mathrm dx
&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx\\
&=-\int\frac{\mathrm du}u\\
&=-\ln|u|+C\\
&=-\ln|\cos x|+C\\
&=\ln|\sec x|+C
\end{align}</math>

=== 넷째 예 (부정적분) ===
부정적분
:<math>\int\frac{\ln x}x\mathrm dx</math>
에서 <math>(\mathrm dx)/x=\mathrm d(\ln x)</math>이므로 다음이 성립한다.<ref name="Lax">{{서적 인용
|성1=Lax
|이름1=Peter D.
|성2=Terrell
|이름2=Maria Shea
|제목=Calculus With Applications
|언어=en
|판=2
|시리즈=Undergraduate Texts in Mathematics
|출판사=Springer Science+Business Media 
|위치=New York, NY
|날짜=2014
|isbn=978-1-4614-7945-1
|issn=0172-6056
|doi=10.1007/978-1-4614-7946-8
|lccn=2013946572
}}</ref>{{rp|304, Example 7.9}}
:<math>\int\frac{\ln x}x\mathrm dx=\int\ln x\mathrm d(\ln x)=\frac 12(\ln x)^2+C</math>

=== 다섯째 예 (부정적분) ===
부정적분
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}</math>
에서 <math>x=t^6</math>이라고 하자. 그러면 <math>\mathrm dx=6t^5\mathrm dt</math>이므로 다음이 성립한다.<ref name="wusj1" />{{rp|254, 例6.2.17}}
:<math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}
&=6\int\frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm dt\\
&=6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm dt\\
&=6\int\left(t^2-t+1-\frac 1{t+1}\right)\mathrm dt\\
&=2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|+C\\
&=2\sqrt x-3\sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln|1+\sqrt[6]x|+C
\end{align}</math>

== 예 (정적분) ==
=== 첫째 예 (정적분) ===
정적분
:<math>\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx</math>
에서 <math>u=x^2</math>라고 하자. 그러면 <math>2x\mathrm dx=\mathrm du</math>이다. 또한 <math>x=0</math>일 때 <math>u=0</math>이며 <math>x=2\pi</math>일 때 <math>u=4\pi^2</math>이다. 따라서 다음이 성립한다.<ref name="Lax" />{{rp|303, Example 7.8}}
:<math>\begin{align}\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx
&=\int_0^{4\pi^2}\cos u\mathrm du\\
&=\bigg[\sin u\bigg]_0^{4\pi^2}\\
&=\sin 4\pi^2
\end{align}</math>

=== 둘째 예 (정적분) ===
정적분
:<math>\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\qquad(a>0)</math>
에서 <math>x=a\sin t</math> (<math>0\le t\le\pi/2</math>)라고 하자. 그러면 <math>\mathrm dx=a\cos t\mathrm dt</math>이다. 또한 다음이 성립한다.
:<math>\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2\cos^2t}=a\cos t</math>
마지막에 양수를 취한 것은 모든 <math>0\le t\le\pi/2</math>에 대하여 <math>\cos t>0</math>이기 때문이다. 또한 <math>x=0</math>일 때 <math>t=0</math>이며, <math>x=a</math>일 때 <math>t=\pi/2</math>이므로, 다음이 성립한다.<ref name="wusj2">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第二册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2010-02
|isbn=978-7-301-15876-0
}}</ref>{{rp|42, 例7.4.5}}
:<math>\begin{align}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx
&=a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2t\mathrm dt\\
&=\frac{a^2}2\int_0^{\pi/2}(1+\cos 2t)\mathrm dt\\
&=\frac{a^2}2\bigg[t+\frac 12\sin 2t\bigg]_0^{\pi/2}\\
&=\frac\pi 4a^2
\end{align}</math>
이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

== 응용 ==
=== 홀함수와 짝함수의 적분 ===
치환 적분을 통해 대칭적인 함수의 대칭적인 구간 위의 적분에 대한 공식을 증명할 수 있다. <math>f\colon[-a,a]\to\mathbb R</math>가 [[연속 함수]]라고 하자.
* 만약 <math>f</math>가 [[홀함수]]라면 (모든 <math>x\in[-a,a]</math>에 대하여 <math>f(-x)=-f(x)</math>라면), 다음이 성립한다.
*:<math>\int_{-a}^af(x)\mathrm dx=0</math>
* 만약 <math>f</math>가 [[짝함수]]라면 (모든 <math>x\in[-a,a]</math>에 대하여 <math>f(-x)=f(x)</math>라면), 다음이 성립한다.
*:<math>\int_{-a}^af(x)\mathrm dx=2\int_0^af(x)\mathrm dx</math>
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 <math>f</math>가 홀함수라면, 치환 적분 <math>x=-t</math>을 쓴 뒤 <math>f(-t)=-f(t)</math>를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.
:<math>\int_{-a}^0f(x)\mathrm dx=\int_0^af(-t)\mathrm dt=-\int_0^af(t)\mathrm dt=-\int_0^af(x)\mathrm dx</math>
만약 <math>f</math>가 짝함수라면,  치환 적분 <math>x=-t</math>을 쓴 뒤 <math>f(-t)=f(t)</math>를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.<ref name="wusj2" />{{rp|41, 例7.4.4}}
:<math>\int_{-a}^0f(x)\mathrm dx=\int_0^af(-t)\mathrm dt=\int_0^af(t)\mathrm dt=\int_0^af(x)\mathrm dx</math>

=== 주기 함수의 적분 ===
치환 적분을 통해 [[주기 함수]]의 한 주기 동안의 적분이 어디에서나 같음을 증명할 수 있다. <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가 <math>T>0</math>를 주기로 가지는 [[연속 함수]]라고 하자. 그렇다면 임의의 <math>a\in\mathbb R</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^Tf(x)\mathrm dx</math>
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 치환 적분 <math>x=t+T</math>를 쓴 뒤 <math>f(t+T)=f(t)</math>를 대입하면 다음을 얻는다.
:<math>\int_T^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^af(t+T)\mathrm dt=\int_0^af(t)\mathrm dt=\int_0^af(x)\mathrm dx</math>
따라서 다음이 성립하므로, 원하는 명제가 성립한다.<ref name="wusj2" />{{rp|42-43, 例7.4.6}}
:<math>\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\left(\int_a^0+\int_0^T+\int_T^{a+T}\right)f(x)\mathrm dx=\int_0^Tf(x)\mathrm dx</math>

== 같이 보기 ==
* [[부정적분#치환 적분]]
* [[리만 적분#치환 적분]]
* [[변수 변환]]
* [[삼각 치환]]
* [[쌍곡 치환]]
* [[바이어슈트라스 치환]]
* [[오일러 치환]]
* [[부분 적분]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Integration by substitution}}

[[분류:적분학]]