층 코호몰로지 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''층 코호몰로지'''(層 cohomology, {{llang|en|sheaf cohomology}})는 [[아벨 군]] 값을 가진 [[층 (수학)|층]]에 정의되는 [[호몰로지]] 이론이다. 대역 단면(global section) [[함자 (수학)|함자]]의 [[유도 함자]]이다. [[체흐 코호몰로지]]보다 더 추상적이지만, [[대수기하학]]에서 다루기 더 편하다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이고, <math>\mathcal F</math>가 <math>X</math> 위에 정의된, [[아벨 군]] 값을 가진 [[층 (수학)|층]]이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''대역 단면'''({{llang|en|global section}}) 함자를 생각하자.
:<math>\Gamma_X\colon\mathcal F\mapsto\mathcal F(X)</math>
이는 <math>X</math> 위의 층들의 범주 <math>\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})</math>로부터 아벨 군의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]이며, 이는 [[왼쪽 완전 함자]]임을 보일 수 있다. 또한, 범주 <math>\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})</math>에서는 [[단사 대상]]으로의 분해(injective resolution)가 항상 존재함을 보일 수 있다. 따라서 <math>\Gamma_X</math>의 [[오른쪽 유도 함자]] <math>R^i\Gamma_X</math>를 정의할 수 있다. '''층 코호몰로지'''<math>H^i(X,\mathcal F)</math>를 이 유도 함자들로 정의한다. 즉,
:<math>H^i(X,\mathcal F)=R^i\Gamma_X(\mathcal F)</math>
이다. 특히, <math>X</math>나 <math>\mathcal F</math>에 [[스킴 (수학)|스킴]]이나 [[준연접층]]과 같은 구조가 추가로 존재해도 이를 무시하고 계산한다.

==특이 코호몰로지와의 관계==
<math>X</math>가 [[국소 축약 가능 공간]]이라고 하고, <math>G</math>가 임의의 [[아벨 군]]이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math> 위의, <math>G</math>값을 가진 [[상수층]](constant sheaf) <math>\underline{G}</math>의 층 코호몰로지 <math>H^i(X,\underline{G})</math>는 <math>G</math> 계수를 가진 [[특이 코호몰로지]] <math>H^i(X,G)</math>와 [[동형]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Iversen | first=Birger | title=Cohomology of sheaves | publisher=Springer  | series=Universitext |issn= 0172-5939 | isbn=978-3-540-16389-3  | mr=842190 | 날짜=1986 | doi=10.1007/978-3-642-82783-9}}
* {{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}

== 같이 보기 ==
* [[단사층]]
* [[르레 스펙트럼 열]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Local cohomology}}
* {{nlab|id=abelian sheaf cohomology|title=Abelian sheaf cohomology}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:층론]]