측도 수렴 함수열 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서, '''측도 수렴 함수열'''(測度收斂函數列, {{llang|en|convergent sequence of functions in measure}})은 극한과의 오차가 큰 부분이 점차 사라지는 [[가측 함수]]의 열이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>
* ([[보렐 시그마 대수]]를 갖춘) [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[거리 공간]] <math>(Y,d_Y)</math>

[[가측 함수]]의 열 <math>(f_i\colon X\to Y)_{i\in\mathbb N}</math> 및 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>(f_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 <math>f</math>로 '''측도 수렴'''한다고 한다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\lim_{i\to\infty}\mu(\{x\in X\colon d_Y(f_i,f)>\epsilon\})=0</math>

[[가측 함수]]의 열 <math>(f_i\colon X\to Y)_{i\in\mathbb N}</math>이 다음 조건을 만족시키면, '''측도 코시 열'''(測度-列, {{llang|en|Cauchy sequence in measure}})이라고 한다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{i,j\ge n}\mu(\{x\in X\colon d_Y(f_i,f_j)>\epsilon\})=0</math>

만약 <math>\mu</math>가 [[확률 측도]]일 경우, '''확률 수렴'''(確率收斂, {{llang|en|convergence in probability}})과 '''확률 코시 열'''(確率-列, {{llang|en|Cauchy sequence in probability}})이라는 용어를 대신 사용하기도 한다.

== 성질 ==
만약 <math>(f_i\colon X\to Y)_{i\in\mathbb N}</math>이 <math>f</math>와 <math>g</math>로 측도 수렴한다면, [[거의 어디서나]] <math>f=g</math>이다.

=== 함의 관계 ===
모든 측도 수렴 함수열은 항상 [[거의 어디서나]] 수렴 부분 함수열을 갖는다. 만약 <math>X</math>가 [[가산 집합]]일 경우, 모든 측도 수렴 함수열은 [[거의 어디서나]] 수렴한다.

만약 <math>\mu(X)<\infty</math>일 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(f_i)_{i\in\mathbb N}</math>는 <math>f</math>로 측도 수렴한다.
* 임의의 부분열 <math>(f_{i(j)})_{j\in\mathbb N}</math>에 대하여, <math>f</math>로 [[거의 어디서나]] 수렴하는 부분열 <math>(f_{i(j(k))})_{k\in\mathbb N}</math>이 존재한다.
(특히, <math>\mu(X)<\infty</math>일 경우 모든 [[거의 어디서나]] 수렴 함수열은 측도 수렴한다.)

모든 측도 수렴 함수열은 측도 코시 열이다. 만약 <math>\mu(X)<\infty</math>이며, <math>Y</math>가 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[완비 거리 공간]]일 경우, 모든 측도 코시 열은 측도 수렴한다.

[[확률 측도]] 공간 <math>(X,\Sigma,\mu)</math>이 주어졌다고 하자. 또한, 실수 값 [[가측 함수]] <math>X\to\mathbb R</math>에 대하여 측도 수렴과 [[거의 어디서나]] 수렴이 [[동치]]라고 하자. 그렇다면 <math>\mu</math>는 [[원자적 측도]]다.<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume I
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|165, Exercise 2.12.71}}

== 예 ==
=== 측도 수렴하지 않는 거의 어디서나 수렴 함수열 ===
[[보렐 시그마 대수]]와 [[르베그 측도]]를 갖춘 실수선 <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\mu_{\operatorname L})</math> 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.
:<math>f_i\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f_i\colon x\mapsto\begin{cases}
1&x\in[n,\infty)\\
0&x\not\in[n,\infty)
\end{cases}
</math>
그렇다면 <math>(f_i)_{i\in\mathbb N}</math>은 0으로 [[점별 수렴]]하며, 특히 [[거의 어디서나]] 수렴하지만, 측도 수렴하지 않는다.

=== 거의 어디서나 수렴하지 않는 측도 수렴 함수열 ===
실수 구간 <math>([0,1],\mathcal B([0,1]),\mu_{\operatorname L})</math> 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.
:<math>f_i\colon[0,1]\to\mathbb R</math>
:<math>f_i\colon x\mapsto\begin{cases}
1&i=(1+2+\cdots+n)+j,\;0\le j\le n,\;x\in[j/(n+1),(j+1)/(n+1)]\\
0&i=(1+2+\cdots+n)+j,\;0\le j\le n,\;x\not\in[j/(n+1),(j+1)/(n+1)]
\end{cases}
</math>
그렇다면 <math>(f_i)_{i\in\mathbb N}</math>은 0으로 측도 수렴하지만, 모든 곳에서 발산하며, 특히 [[거의 어디서나]] 수렴하지 않는다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|성1=Klenke
|이름1=Achim
|제목=Probability Theory. A Comprehensive Course
|언어=en
|판=3
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2020
|isbn=978-3-030-56401-8
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-030-56402-5
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Convergence in probability}}

[[분류:측도론]]