축소 판정법 문서 원본 보기

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[[대수학]]에서, '''축소 판정법'''(縮小判定法, {{llang|en|reduction criterion}})은 [[정수]] 계수 [[다항식]]이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 [[충분 조건]]을 제시하는 정리이다.

== 정의 ==
두 [[정역]] <math>R,S</math> 및 [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\phi</math>는 자연스럽게 [[다항식환]] 사이의 [[환 준동형]]
:<math>\widetilde\phi\colon R[x]\to S[x]</math>
:<math>\widetilde\phi\colon r\mapsto\phi(r)\qquad\forall r\in R</math>
:<math>\widetilde\phi\colon x\mapsto x</math>
로 확장될 수 있다. 이제, <math>R,S</math>의 [[분수체]]를 각각 <math>\operatorname{Frac}R</math>와 <math>\operatorname{Frac}S</math>라고 하고, [[다항식]] <math>p\in R[x]</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
* <math>\deg\widetilde\phi(p)=\deg p</math>
* <math>\widetilde\phi(p(x))</math>는 <math>(\operatorname{Frac}S)[x]</math>의 [[기약 다항식]]이다.
'''축소 판정법'''에 따르면, <math>p(x)</math>는 더 낮은 차수의 두 <math>R</math> 계수의 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 <math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]일 경우, <math>p(x)</math>는 <math>(\operatorname{Frac}R)[x]</math>의 [[기약 다항식]]이다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|185 §IV.3 Theorem 3.2}}

== 증명 ==
[[귀류법]]을 사용하여,
:<math>p(x)=q(x)r(x)</math>
:<math>\deg q,\deg r\ge 1</math>
인 <math>q,r\in R[x]</math>가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,
:<math>\widetilde\phi(p(x))=\widetilde\phi(q(x))\widetilde\phi(r(x))</math>
이다. 또한,
:<math>\deg q+\deg r=\deg p=\deg\widetilde\phi(p)=\deg\widetilde\phi(q)+\deg\widetilde\phi(r)</math>
:<math>\deg\widetilde\phi(q)\le\deg q</math>
:<math>\deg\widetilde\phi(r)\le\deg r</math>
이므로,
:<math>\deg\widetilde\phi(q)=\deg q\ge 1</math>
:<math>\deg\widetilde\phi(r)=\deg r\ge 1</math>
이다. 이는 <math>\widetilde\phi(p)\in(\operatorname{Frac}S)[x]</math>가 [[기약 다항식]]인 데 모순이다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:대수학 정리]]
[[분류:다항식]]