추이 측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]과 [[확률론]]에서 '''추이 측도'''(推移測度, {{llang|en|transition measure}})는 첫 번째 변수에 대하여 [[가측 함수]]이며 두 번째 변수에 대하여 [[측도]]인 이변수 [[함수]]이다. 추이 측도를 통해 곱 [[가측 공간]] 위에 [[측도]]를 유도할 수 있다.

== 정의 ==
두 [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>와 <math>(Y,\mathcal G)</math> 사이의 '''추이 측도'''는 다음 두 조건을 만족시키는 함수
:<math>\mu\colon X\times\mathcal G\to[0,\infty]</math>
이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>B\mapsto\mu(x,B)</math>는 <math>(Y,\mathcal G)</math> 위의 [[측도]]이다.
* 임의의 <math>B\in\mathcal G</math>에 대하여, <math>x\mapsto\mu(x,B)</math>는 <math>(X,\mathcal F)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math> [[가측 함수]]이다.
만약 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>B\mapsto\mu(x,B)</math>가 [[확률 측도]]라면, <math>\mu</math>를 '''확률 추이 측도'''(確率推移測度, {{llang|en|probability transition measure}})이라고 한다.

=== 시그마 유한 추이 측도 ===
두 [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>와 <math>(Y,\mathcal G)</math> 사이의 추이 측도 <math>\mu</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[가측 집합]]들의 족 <math>\mathcal B\subset\mathcal G</math>가 존재한다면, <math>\mu</math>를 '''시그마 유한 추이 측도'''(-有限推移測度, {{llang|en|sigma-finite transition measure}})라고 한다.
:<math>|\mathcal B|\le\aleph_0</math>
:<math>Y=\bigcup\mathcal B</math>
:<math>\mu(x,B)<\infty\qquad\forall x\in X,\;B\in\mathcal B</math>

두 [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>와 <math>(Y,\mathcal G)</math> 사이의 추이 측도 <math>\mu</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[가측 집합]]들의 족 <math>\mathcal A\subset\mathcal G</math> 및 <math>\mathcal B\subset\mathcal G</math>가 존재한다면, <math>\mu</math>를 '''균등 시그마 유한 추이 측도'''(均等-有限推移測度, {{llang|en|sigma-finite transition measure}})라고 한다.
:<math>|\mathcal A|,|\mathcal B|\le\aleph_0</math>
:<math>X=\bigcup\mathcal A</math>
:<math>Y=\bigcup\mathcal B</math>
:<math>\sup_{x\in A}\mu(x,B)<\infty\qquad\forall A\in\mathcal A,\;B\in\mathcal B</math>

== 성질 ==
=== 유한 차원 곱공간 위의 측도 ===
{{참고|푸비니 정리}}
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 개의 [[가측 공간]] <math>(X_i,\mathcal F_i)_{i=1,\dots,n}</math>
* 각 <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여, <math>\textstyle(\prod_{j=1}^{i-1}X_j,\prod_{j=1}^{i-1}\mathcal F_j)</math>와 <math>(X_i,\mathcal F_i)</math> 사이의 시그마 유한 추이 측도 <math>\mu_i</math>. (특히, <math>\mu_1</math>은 <math>(X_1,\mathcal F_1)</math> 위의 [[시그마 유한 측도]]이다.)
그렇다면, 곱 가측 공간 <math>\textstyle(\prod_{i=1}^nX_i,\prod_{i=1}^n\mathcal F_i)</math> 위에 다음과 같은 [[시그마 유한 측도]]를 부여할 수 있다.
:<math>\mu\colon S\mapsto\int_{X_1}\int_{X_2}\cdots\int_{X_n}1_S(x_1,\dots,x_n)\mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots\mu_2(x_1,\mathrm dx_2)\mu_1(\mathrm dx_1)\qquad\forall S\in\prod_{i=1}^n\mathcal F_i</math>
이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 [[측도]]이다.
:<math>\mu\left(\prod_{i=1}^nA_i\right)=\int_{A_1}\int_{A_2}\cdots\int_{A_n}\mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots\mu_2(x_1,\mathrm dx_2)\mu_1(\mathrm dx_1)\qquad\forall A_1\in\mathcal F_1,\dots,A_n\in\mathcal F_n</math>
또한, 임의의 적분 가능 [[가측 함수]] <math>\textstyle f\colon\prod_{i=1}^nX_i\to\mathbb(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\int_{\prod_{i=1}^nX_i}f\mathrm d\mu=\int_{X_1}\int_{X_2}\cdots\int_{X_n}f(x_1,\dots,x_n)\mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots\mu_2(x_1,\mathrm dx_2)\mu_1(\mathrm dx_1)</math>

=== 가산 차원 곱공간 위의 확률 측도 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 가산 무한 개의 [[가측 공간]] <math>(X_i,\mathcal F_i)_{i=1,2,\dots}</math>
* 각 <math>i=1,2,\dots</math>에 대하여, <math>\textstyle(\prod_{j=1}^{i-1}X_j,\prod_{j=1}^{i-1}\mathcal F_j)</math>와 <math>(X_i,\mathcal F_i)</math> 사이의 확률 추이 측도 <math>P_i</math>. (특히, <math>P_1</math>은 <math>(X_1,\mathcal F_1)</math> 위의 [[확률 측도]]이다.)
그렇다면, '''이오네스쿠툴체아 정리'''(-定理, {{llang|en|Ionescu Tulcea theorem}})에 따르면 곱 가측 공간 <math>\textstyle(\prod_{i=1}^\infty X_i,\prod_{i=1}^\infty\mathcal F_i)</math> 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 [[확률 측도]] <math>P</math>가 존재한다.
:<math>P\left(\prod_{i=1}^nA_i\times\prod_{i=n+1}^\infty X_i\right)=\int_{A_1}\int_{A_2}\cdots\int_{A_n}P_n(x_1,\dots,x_{n-1},\mathrm dx_n)\cdots P_2(x_1,\mathrm dx_2)P_1(\mathrm dx_1)\qquad\forall n=1,2,\dots,\;A_1\in\mathcal F_1,\dots,A_n\in\mathcal F_n</math>

=== 범주론적 성질 ===
3개의 [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>, <math>(Y,\mathcal G)</math>, <math>(Z,\mathcal H)</math> 및 <math>X\times\mathcal G</math> 위의 확률 추이 측도 <math>\mu</math> 및 <math>Y\times\mathcal H</math> 위의 확률 추이 측도 <math>\nu</math>가 주어졌을 때, <math>X\times\mathcal H</math> 위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.
:<math>\nu\circ\mu\colon(x,C)\mapsto\int_Y\nu(y,C)\mu(x,\mathrm dy)</math>
확률 추이 측도의 합성은 [[결합 법칙]]을 만족시키며, 이에 따라 [[가측 공간]]과 확률 추이 측도는 [[범주 (수학)|범주]]를 이룬다.

== 예 ==
두 [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>, <math>(Y,\mathcal G)</math> 및 <math>(Y,\mathcal G)</math> 위의 [[측도]] <math>\mu</math>가 주어졌을 때, 함수
:<math>(x,B)\mapsto\mu(B)</math>
는 <math>(X,\mathcal F)</math>와 <math>(Y,\mathcal G)</math> 사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 <math>\mu</math>가 [[시그마 유한 측도]] · [[확률 측도]]라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.

유한 이산 [[가측 공간]] <math>(\Omega,\mathcal P(\Omega))</math>이 주어졌고, 행렬 <math>p\colon\Omega\times\Omega\to[0,1]</math>가
:<math>\sum_{y\in\Omega}p(x,y)=1\qquad\forall x\in\Omega</math>
를 만족시킬 때, 함수
:<math>(x,B)\mapsto\sum_{y\in B}p(x,y)</math>
는 <math>(\Omega,\mathcal P(\Omega))</math> 위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.

== 역사 ==
이오네스쿠툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠툴체아({{llang|ro|Cassius Tocqueville Ionescu-Tulcea}})가 증명하였다.<ref name="Ionescu-Tulcea">{{저널 인용
|성=Ionescu-Tulcea
|이름=Cassius Tocqueville
|제목=Mesures dans les espaces produits
|언어=fr
|저널=Atti della Accademia Nazionale dei Lincei Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (8)
|권=7
|쪽=208–211
|날짜=1949
|mr=36288
}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume II
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}
* {{서적 인용
|성=Parthasarathy
|이름=K. R.
|제목=Introduction to Probability and Measure
|언어=en
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=33
|출판사=Hindustan Book Agency
|위치=Gurgaon
|날짜=2005
|isbn=978-81-85931-55-5
|issn=2366-8717
|doi=10.1007/978-93-86279-27-9
}}

[[분류:측도론]]
[[분류:확률 과정]]