추이적 집합 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''추이적 집합'''(推移的集合, {{llang|en|transitive set}})은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 '''추이적 집합'''이라고 한다.
* 임의의 <math>B\in A\in X</math>에 대하여, <math>B\in X</math>
* 임의의 <math>A\in X</math>에 대하여, <math>A\subseteq X</math>
* <math>\bigcup X\subseteq X</math>
* <math>X\subseteq\mathcal P(X)</math>
마찬가지로,  '''추이적 [[모임 (집합론)|모임]]'''({{llang|en|transitive class}})을 정의할 수 있다.

집합 <math>X</math>의 '''추이적 폐포'''({{llang|en|transitive closure}})는 <math>X</math>를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\bigcup_{n=0}^\infty\operatorname{\overbrace{\bigcup\cdots\bigcup}^{\mathit n}}X=X\cup\bigcup X\cup\bigcup\bigcup X\cup\cdots</math>

=== 초추이적 집합 ===
집합 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 '''초추이적 집합'''({{llang|en|supertransitive set}})이라고 한다.
* 임의의 <math>A\in X</math>에 대하여, 만약 <math>B\subseteq A</math> 또는 <math>B\in A</math>라면, <math>B\in X</math>
* 임의의 <math>A\in X</math>에 대하여, <math>A\cup\mathcal P(A)\subseteq X</math>
초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, 다음과 같은 [[누적 위계]]
:<math>\mathcal P^\alpha(X)=\begin{cases}
\mathcal P(\mathcal P^\beta(X))&\exists\beta\colon\beta+1=\alpha\\
X\cup\bigcup_{\gamma<\alpha}\mathcal P^\gamma(X)&\nexists\beta\colon\beta+1=\alpha
\end{cases}</math>
를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 '''<math>\alpha</math>-초추이적 집합'''({{llang|en|<math>\alpha</math>-supertransitive set}})이라고 한다.
* 임의의 <math>A\in X</math> 및 순서수 <math>\beta<\alpha</math>에 대하여, <math>\mathcal P^\beta(A)\subseteq X</math>
즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 <math>X</math>의 '''<math>\alpha</math>-초추이적 폐포'''는 <math>X</math>를 포함하는 가장 작은 <math>\alpha</math>-초추이적 집합이며, 다음과 같다.
:<math>X\cup Q(X)\cup Q(Q(X))\cup\cdots</math>
:<math>Q(X)=\bigcup_{A\in X}\bigcup_{\beta<\alpha}\mathcal P^\beta(A)</math>

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 추이적 집합 <math>X</math>에 대하여, <math>\bigcup X</math>와 <math>X\cup\{X\}</math> 역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 <math>\mathcal X</math>에 대하여, <math>\bigcup\mathcal X</math>와 <math>\bigcap\mathcal X</math> 역시 추이적 집합이다.

=== 자명하지 않은 동형의 부재 ===
추이적 모임과 원소 관계로 이루어진 [[구조 (논리학)|구조]] 사이의 [[동형 사상]]은 [[항등 함수]]밖에 없다. 즉, [[추이적 모임]] 사이의 [[전단사 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가
:<math>A\in B\in X\iff f(A)\in f(B)\in Y</math>
를 만족시킨다면, <math>X=Y</math>이며, <math>f=\operatorname{id}_X</math>이다.<ref name="Jech">{{서적 인용|성1=Jech|이름1=Thomas|제목=Set theory|url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4|언어=en|판=3|총서=Springer Monographs in Mathematics|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2003|isbn=978-3-540-44085-7|issn=1439-7382|doi=10.1007/3-540-44761-X|mr=1940513|zbl=1007.03002|id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|67, Theorem 6.7}} 이는 [[정칙성 공리]]를 사용하여 보일 수 있다. 특히, [[폰 노이만 전체]]는 자명하지 않은 [[자기 동형 사상]]을 갖지 않는다.
{{증명}}
임의의 <math>A\in X</math>에 대하여, <math>f(A)=A</math>를 보이는 것으로 충분하다. [[정칙성 공리]]에 의하여, 모든 [[모임 (집합론)|모임]]이 정초 모임임을 보일 수 있으며, 따라서 <math>(X,\in)</math> 위에서 [[초한 귀납법]]을 사용할 수 있다. 이제, 임의의 <math>B\in A</math>에 대하여 <math>f(B)=B</math>라고 가정하자. 다음 두 가지를 보이면 족하다.
* <math>A\subseteq f(A)</math>
** 임의의 <math>B\in A</math>에 대하여, <math>B=f(B)\in f(A)</math>이다.
* <math>f(A)\subseteq A</math>
** 임의의 <math>f(B)\in f(A)</math>에 대하여, <math>B\in A</math>이므로, <math>f(B)=B\in A</math>이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
[[순서수]]의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

[[폰 노이만 전체]]의 정의에서, 임의의 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>V_\alpha</math>는 추이적 집합이다. [[폰 노이만 전체]] <math>V</math>는 추이적 [[고유 모임]]이다.

[[구성 가능 전체]]의 정의에서, 임의의 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>L_\alpha</math>는 추이적 집합이다. [[구성 가능 전체]] <math>L</math>은 추이적 [[고유 모임]]이다.

== 응용 ==
추이적 집합 · 모임은 [[모형 이론]]에서 [[집합론]]의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. [[모스토프스키 붕괴 보조정리]]에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[추이적 관계]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Transitive_Class|제목=Definition: transitive class|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Supertransitive|제목=Definition: supertransitive|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Supertransitive }}

{{집합론}}

[[분류:집합론]]