최대 최소 정리 문서 원본 보기

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{{출처 필요|날짜=2013-1-9}}
[[파일:Extreme Value Theorem.svg|섬네일|닫힌구간 [''a'', ''b'']에서 연속인 함수 ''f''는 최댓값 ''f''(''c'')와 최솟값 ''f''(''d'')를 반드시 갖는다.]]
[[미적분학]]에서 '''최대 최소 정리'''(最大最小整理, {{llang|en|extreme value theorem}})는 [[닫힌구간]]에 정의된 실숫값 [[연속 함수]]는 항상 [[최댓값]]과 [[최솟값]]을 갖는다는 정리이다.

== 정의 ==
'''최대 최소 정리'''에 따르면, 정의역이 [[콤팩트 공간]] <math>X\ne\varnothing</math>, 공역이 [[실수선]] <math>\mathbb R</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>는 [[유계 함수]]이며, [[최댓값]]과 [[최솟값]]을 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\sup_{x\in X}f(x)=\max_{x\in X}f(x)</math>
:<math>\inf_{x\in X}f(x)=\min_{x\in X}f(x)</math>
즉, 다음을 만족시키는 <math>x,y\in X</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>z\in X</math>에 대하여, <math>f(x)\le f(z)\le f(y)</math>
특히, [[닫힌구간]]에 정의된 [[실숫값]] 연속 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>는 유계 함수이며, 최댓값과 최솟값을 갖는다.

== 증명 ==
[[귀류법]]을 사용하여, <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 최댓값을 가지지 않는다고 가정하자. 그렇다면, <math>f</math>가 연속 함수이므로, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 <math>U_x\ni x</math>을 취할 수 있다.
:<math>\sup_{y\in U_x}f(y)<\sup_{y\in X}f(y)</math>
그렇다면, <math>\{U_x\}_{x\in X}</math>는 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]이며, <math>X</math>가 콤팩트 공간이므로 유한 부분 덮개 <math>\{U_{x_1},\dots,U_{x_n}\}</math>를 취할 수 있다. 따라서, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여,
:<math>f(x)\le\max_{1\le k\le n}\sup_{y\in U_{x_k}}f(y)<\sup_{y\in X}f(y)</math>
이며, 이는 상한의 정의와 모순이다. 따라서, <math>f</math>의 상한은 무한대가 아니며, 또한 <math>f</math>는 최댓값을 갖는다.

== 역사 ==
최대 최소 정리는 1830년대에 [[베르나르트 볼차노]]가 '함수론'에서 증명했지만, 1930년까지는 출판되지 않았다. 볼차노의 증명은 폐구간에서 연속함수가 유계이면, 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]로 알려져 있다. 1860년에 [[카를 바이어슈트라스]]가 그의 증명을 재발견해 냈기 때문이다.

[[분류:연속 함수]]
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:미적분학 정리]]