최대 절댓값 원리 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''최대 절댓값 원리'''(最大絶大-原理, {{llang|en|maximum modulus principle}}) 또는 '''최대 절댓값 정리'''(最大絶大-定理)는 [[상수 함수]]가 아닌 [[정칙 함수]]의 [[절댓값]]이 [[극대점]]을 갖지 않는다는 정리이다.

== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 [[정칙 함수]] <math>f\colon D\to\mathbb C</math>가 [[상수 함수]]가 아니라고 하자. '''최대 절댓값 원리'''에 따르면, <math>|f|</math>는 [[극대점]]을 가지지 않는다. 즉, 임의의 <math>z\in D</math> 및 [[근방]] <math>N\ni z</math>에 대하여,
:<math>|f(z)|<\sup_{z'\in N\cap D}|f(z')|</math>
이다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|98-99, §3.4, 정리5}}

[[유계 집합|유계]] 연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 정칙 함수이며, 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, <math>|f|</math>의 모든 최대점은 <math>D</math>의 [[경계점]]이다. 즉, 임의의 <math>z\in D</math>에 대하여,
:<math>|f(z)|<\sup_{z'\in\partial D}|f(z')|</math>
이다. 이는 경계점이 아닌 최대점은 <math>D</math>에서의 극대점이기 때문이다.

== 증명 ==
=== 열린 사상 정리를 통한 증명 ===
[[열린 사상 정리 (복소해석학)|열린 사상 정리]]에 의하여,<ref name="tanxj" />{{rp|99}} 임의의 <math>z\in D</math> 및 근방 <math>N\ni z</math>에 대하여, <math>f(N\cap D)</math>는 열린집합이므로, <math>f(z)</math>는 <math>f(N\cap D)</math>의 [[내부점]]이다. 따라서, <math>|f(z')|>|f(z)|</math>인 <math>z'\in N\cap D</math>가 존재한다. 즉, <math>|f(z)|</math>는 <math>N\cap D</math>에서의 최댓값이 아니다.

=== 코시 적분 공식을 통한 증명 ===
귀류법을 사용하여, <math>z\in D</math>가 근방 <math>N\ni z</math>에서 <math>|f|</math>의 최대점이라고 하자.<ref name="Ahlfors">{{서적 인용|성=Ahlfors|이름=Lars Valerian|저자링크=라르스 알포르스|제목=Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable|url=https://archive.org/details/complexanalysis0000ahlf|언어=en|판=3|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|출판사=McGraw-Hill Book Company|위치=[[뉴욕]]|날짜=1979|isbn=978-1-259-06482-1|mr=0510197|zbl=0395.30001|id={{iaid|complexanalysisi0000ahlf_v7n1}}}}</ref>{{rp|134-135}}
:<math>\{w\in\mathbb C\colon|w-z|\le r\}\subseteq N</math>
인 <math>r>0</math>을 취하자. [[코시 적분 공식]]에 의하여
:<math>f(z)=\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z+re^{i\theta})\mathrm d\theta</math>
이다. 만약
:<math>|f(z)|>|f(z+re^{i\theta})|</math>
인 <math>\theta\in[0,2\pi)</math>가 존재한다면,
:<math>|f(z)|\le\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(z+re^{i\theta})|\mathrm d\theta</math>
에 모순이므로, 임의의 <math>\theta\in[0,2\pi)</math>에 대하여,
:<math>|f(z)|=|f(z+re^{i\theta})|</math>
이다. 이에 따라, <math>f</math>는 상수 함수이며, 이는 모순이다.

== 따름정리 ==
최대 절댓값 원리는 다음과 같은 명제들을 증명하는 데 쓰인다.
* [[대수학의 기본 정리]]
* [[슈바르츠 보조정리]]
* [[보렐-카라테오도리 정리]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Maximum-modulus principle}}
* {{매스월드|id=MaximumModulusPrinciple|title=Maximum modulus principle}}

[[분류:복소해석학 정리]]