최대 사후 확률 문서 원본 보기

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'''최대 사후 확률'''(最大事後確率, maximum a posteriori, '''MAP''')은 [[베이즈 통계학]]에서 [[사후 확률]](事後確率)의 [[최빈값]]을 가리킨다. 최대 사후 확률에 대응하는 모수(母數, Parameter)는 [[최대우도]](最大尤度, maximum likelihood estimation, MLE)와 마찬가지로 모수의 [[점 추정]]으로 사용할 수 있지만, 최대우도에서는 어떤 사건이 일어날 확률을 가장 높이는 모수를 찾는 것에 비해, 최대 사후 확률 모수는 모수의 [[사전 확률]](事前確率)과 결합된 확률을 고려한다는 점이 다르다.

== 방식 ==

어떤 모수 <math>\theta</math>의 [[사전 확률]] 분포가 <math>p(\theta)</math>로 주어져 있고, 그 모수에 기반한 조건부 확률분포 <math>f(x|\theta)</math>와 그 분포에서 수집된 값 <math>x</math>가 주어져 있다. 이때 모수의 사후 확률분포는 [[베이즈 정리]]에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>p(\theta|x) = \frac{f(x|\theta)p(\theta)}{\displaystyle\int f(x|\theta')p(\theta') d\theta'}</math>

여기에서 <math>x</math>가 주어져 있기 때문에 분모는 <math>\theta</math>에 대해 상수가 된다. 여기에서 최대 사후 확률 모수는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\hat{\theta}_{\mathrm{MAP}} := \underset{\theta}\operatorname{arg\,max} \ \frac{f(x|\theta) p(\theta)} {\displaystyle\int f(x | \theta') p(\theta') \, d\theta'} = \underset{\theta}\operatorname{arg\,max} \ f(x | \theta) p(\theta)</math>

[[최대우도]]의 정의 <math>\hat{\theta}_{\mathrm{ML}} := \underset{\theta}\operatorname{arg\,max} f(x|\theta)</math>와 비교해보면, 최대 사후 확률은 사전 확률 <math>p(\theta)</math>가 추가되었다는 것을 볼 수 있다.

{{전거 통제}}

[[분류:추정 이론]]
[[분류:베이즈 통계학]]
[[분류:베이즈 추정]]